Hypothesentest vollständig erklärt

Beispiel:

Man möchte durch einen Test nachweisen, dass Berufseinsteiger mit Masterabschluss im Durchschnitt mehr verdienen als Berufseinsteiger mit einem Bachelorabschluss. Dazu befragt man 100 Berufseinsteiger nach ihrem Abschluss und Einstiegsgehalt.

Wie lautet die Null- bzw. Alternativhypothese in diesem Fall?

Lösung:

Da wir nachweisen wollen, dass Berufseinsteiger mit Masterabschluss ein höheres Einstiegsgehalt haben, muss diese Behauptung in die Alternativhypothese. Die Nullhypothese ist das genaue Gegenteil davon. Solange wir keinen Unterschied im Einkommen nachweisen, müssen wir annehmen, dass beide Gruppen dasselbe verdienen:

•  $H_0$: Bachelor- und Masterabsolventen bekommen das gleiche Einstiegsgehalt.
•  $H_1$: Masterabsolventen bekommen ein höheres Einstiegsgehalt als Bachelorabsolventen.

Mathematisch formuliert: $H_0: \ \mu_M=\mu_B$ und $H_1: \ \mu_M>\mu_B$ mit $\mu_M$ bzw. $\mu_B$ als durchschnittliches Einstiegsgehalt eines Masterstudenten bzw. Bachelorstudenten.

Beispiel

Um einen Test durchzuführen beauftragt Herr Jung den mit der Bedienung der Videokamera betrauten Mitarbeiter seines Betriebes bei den nächsten 100 von der Kamera gefilmten Lehrvideos darauf zu achten, wie viele davon einen schlechten Ton haben, und ihm das Ergebnis am Ende der Woche mitzuteilen. Was ist in diesem Fall die Stichprobenlänge und was ist bei dieser Stichprobe die Testgröße?

Lösung:

Die Stichprobe hat die Länge $n=100$ und die Testgröße ist die Anzahl der Videos mit schlechtem Ton unter den 100 Videos der Stichprobe.

Beispiel:

Wird die Wahrscheinlichkeit von $P(X\leq 2)$ mit $n=10$ und $p=0,1$ gesucht, schreiben wir das erstmal in die Form $F(n;p;k)$, also hier $F(10;0,1;2)$ und suchen uns dann die passende $F$-Tabelle für $n=10$ raus. Einen Ausschnitt dieser Tabelle und wie man dann auf den richtigen Wert kommt, seht ihr in der folgenden Abbildung.

Wichtig: Die gesuchte Wahrscheinlichkeit muss immer auf die Form $\leq$ gebracht werden! Bevor ihr also den Wert für [/latex]\geq[/latex] oder $>$ ablesen könnt, müsst ihr das umschreiben, z.B.:

\begin{align*}
P(X\geq 2)=1-P(X\leq 1) \quad \textrm{oder} \quad P(X > 2)=1-P(X\leq 2)
\end{align*}

Berechnung mit dem GTR/CAS

Wenn ihr mit dem GTR/CAS arbeitet, braucht ihr nur den Befehl: binomcdf$(n,p,k)$! Dieser Befehl berechnet die kumulierten (aufsummierten) Wahrscheinlichkeiten der Binomalverteilung und gibt euch direkt die gesuchte Wahrscheinlichkeit an. Für das Beispiel von oben mit $P(X\leq 2)$, $n=10$ und $p=0,1$ bekommt ihr mit dem Befehl \texttt{binomcdf}$(10;0,1;2)$ direkt den gesuchten Wert.

Beispiel:

In einer Fabrik packt eine Maschine jeweils 100g Schokolade ab.

• $H_0$: $\mu = 100$g (die Maschine arbeitet korrekt)
• $H_1$: $\mu \neq 100$g (die Maschine arbeitet nicht korrekt)

wobei $\mu$ das durchschnittliche Gewicht der Packungen ist.

Betrachten wir nun, welche Fehler bei unseren Hypothesen auftreten können.

1) Bei einem Fehler 1. Art, wird die Nullhypothese ($H_0$) abgelehnt, trotz der Tatsache, dass sie stimmt. Für unser Beispiel würde dies bedeuten, dass die Maschine zwar korrekt arbeiten würde (daher $\mu = 100$g), wir in unserer Stichprobe feststellen würden, dass das Durchschnittsgewicht $\mu \neq 100$g ist.

2) >Beim Fehler 2. Art passiert genau das Gegenteil: die Maschine arbeitet nicht korrekt, sie packt also nicht ein Durchschnittsgewicht von 100g Schokolade ab, unsere Stichprobe zeigt dies allerdings nicht an. Laut ihr arbeitet die Maschine korrekt.

Wir können natürlich auch eine richtige Entscheidung gemäß unserer Stichprobe fällen.

Was passiert aber, wenn unsere Stichprobe aussagt, dass unsere Nullhypothese falsch sei, weil $\mu \neq 100$g ist? Wie wirkt sich das auf den Fehler aus, wenn das Durchschnittsgewicht tatsächlich 100g ist und wenn es nicht 100g ist?

1) Wenn $\mu = 100$g ist, ist die Nullhypothese wahr. Lehnen wir sie ab, begehen wir einen Fehler 1. Art.

2) Wenn $\mu\neq 100$g ist, ist die Nullhypothese falsch. Wenn wir sie ablehnen, treffen wir die richtige Entscheidung.

Beispiel:

Frau Wanka sagt, dass 10% aller Schüler mit Videos lernen. Daniel ist anderer Meinung und behauptet, dass 30% aller Schüler mit Videos lernen. Sie beschließen, dass wenn mindestens 3 Schüler mit Videos lernen, die Hypothese von Daniel stimmt.

Am Nachmittag fährt Daniel in die Remscheider City und fragt 10 Schüler, ob sie mit Videos lernen.

Schreiben wir uns diese Informationen mal auf:

• Nullhypothese $H_0:\ p_0=0,1$ und Alternativhypothese $H_1:\ p_1=0,3$
• Testgröße $X$: Anzahl der Videolerner; Stichprobe: $n=10$
• Annahmebereich: $A=[0;1;2]$, Ablehnungsbereich: $\bar{A}=[3;4;5;6;7;8;9;10]$

Der Fehler 1. Art wird im Ablehnungsbereich von $H_0$ bestimmt mit der Wahrscheinlichkeit von $H_0$. Die Wahrscheinlichkeit beträgt 7%, dass $H_0$ abgelehnt wird, obwohl $H_0$ tatsächlich stimmt.

Der Fehler 2. Art wird im Annahmebereich von $H_0$ bestimmt mit der Wahrscheinlichkeit von $H_1$. Mit einer 38,3%-igen Wahrscheinlichkeit entscheiden wir uns für $H_0$, obwohl $H_1$ in Wirklichkeit stimmt.

Beispiel zum beidseitigen Hypothesentest:

Es werden Fußballfans in einer Stadt betrachtet. Dabei machen 20% die Fans einer Mannschaft A aus B. Wir nehmen nun eine Stichprobe von 158 Fußballfans (Signifikanzniveau: 5%).
In der Stichprobe befinden sich 43 Fußballfans der Mannschaft A und 115 der Mannschaft B.

Kann $H_0$ verworfen werden?

Berechne zudem die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. und 2. Art, wenn der tatsächliche Anteil der Fußballfans 30% beträgt.

Wir arbeiten hierfür das allgemeine Vorgehen ab:

• Man stellt zunächst Hypothesen auf.
  \begin{align*}
  H_0:~ p =0,2;~ H_1:~ p \neq 0,2
  \end{align*}
• Wir erkennen, dass es sich hierbei um einen zweiseitigen Hypothesentest handelt.
• Erwartungswert/Punktschätzung berechnen:
  \begin{align*}
  \mu=n\cdot p = 158\cdot 0,2= 31,6
  \end{align*}
• Standardabweichung berechnen und Laplace-Bedingung prüfen:
  \begin{align*}
  \sigma=\sqrt{n\cdot p \cdot (1-p)}= \sqrt{158 \cdot 0,2 \cdot (1-0,2)}=5,03 > 3 \quad
  \end{align*}
• Vorgegebenes Signifikanzniveau beachten:
  • $\alpha=0,05$ als Irrtumswahrscheinlichkeit
  • $1-\alpha=0,95$ als Sicherheitswahrscheinlichkeit
  • $z_{\frac{\alpha}{2}}$, da ein zweiseitiger Hypothesentest vorliegt

  Diesen Wert können wir in den Quantilen der Standardnormalverteilung ablesen.

• Annahme- und Ablehnungsbereich mit den $\sigma$-Regeln bestimmen:
  \begin{align*}A=\left[ \mu – z_{\frac{\alpha}{2}} \cdot \sigma, \mu + z_{\frac{\alpha}{2}} \cdot \sigma \right]\end{align*}mit $\sigma=5,03$, $\mu=31,6$ und $z_{\frac{\alpha}{2}}=1,96$ folgt\begin{align*}A= \left[ 31,6 – 1,96 \cdot 5,03; \ 31,6 + 1,96 \cdot 5,03 \right] = \left[ 22; 41 \right].\end{align*}Der Ablehnungsbereich lautet demnach $\overline{A}= \left[ 0; 21 \right] \cup \left[ 42; 158 \right]$.
• Entscheidungsregel aufstellen:
  $H_0$ wird verworfen, wenn höchstens 21 oder mindestens 42 Personen Fußballfans der Mannschaft A sind. Graphisch können wir uns die Entscheidungsregel auch folgendermaßen vorstellen.
• Testentscheidung anhand der gegebenen Stichprobe $n$: In der Aufgabe steht, dass sich in der Stichprobe 43 Fußballfans befinden, was bedeutet, dass dieser Wert nicht in den Annahmebereich fällt, sondern in den Ablehnungsbereich, der sich rechts und links des Annahmebereichs $[22;41]$ befindet.Die Stichprobe liefert das Ergebnis, dass $H_0$ verworfen werden kann, da 43 Fußballfans der Mannschaft A im Ablehnungsbereich liegt.
• Fehler 1. Art und 2. Art: Jemand behauptet, dass der tatsächliche Anteil Fußball Fans bei 30% liegt, also liegt hier ein Alternativtest vor und wir können den Fehler 1. und 2. Art berechnen. Im Sachzusammenhang beschreibt der Fehler 1. Art die Wahrscheinlichkeit, dass die Hypothese „20% der Fußballfans sind Anhänger von Mannschaft A“ verworfen wird, obwohl sie richtig ist. Diese war im Aufgabentext gegeben und beträgt $\alpha=5$%.Der Fehler 2. Art bedeutet, dass eine Hypothese angenommen wird obwohl diese falsch ist. Die Berechnung erfolgt über\begin{align*}P(22 \leq X \leq 41)=F(158;0,3;41)- F(158;0,3;21)\end{align*}und kann mit dem Taschenrechner oder mit der Tabelle gelöst werden. Da es keine Tabelle für $n=158$ gibt und die Laplace-Bedingung erfüllt ist, können wir die Binomialverteilung durch die Normalverteilung approximieren. Da eine Approximation von der Binomialverteilung (diskret) zur Normalverteilung (stetig) vorliegt, müssen Stetigkeitskorrekturen beachtet werden. Es folgt:\begin{align*}P(a \leq X \leq b) &\approx \Phi \left( \frac{b+0,5-np}{\sqrt{np(1-p)}} \right)- \Phi \left( \frac{a-0,5-np}{\sqrt{np(1-p)}} \right) \\ \\\Rightarrow \quad P(22 \leq X \leq 41) &\approx \Phi \left( \frac{41+0,5-47,4}{\sqrt{5,76}} \right) – \Phi \left( \frac{22-0,5-47,4}{\sqrt{5,76}} \right) \\ \\&= \Phi(-1,02)-\Phi(-4,5) \\&= 1- \Phi(1,02)- ( 1 – \Phi(4,5)) \\&=0,1539 \approx 15,39\%\end{align*}Zu 15,39% wird die $H_0$ Hypothese angenommen, obwohl diese falsch ist. Das heißt, dass zu 15,39% angenommen wird, dass der Anteil der Fußballfans 20% beträgt, obwohl dies nicht der Wahrheit entspricht.

Beispiel zum linksseitigen Hypothesentest:

Bei der letzten Wahl hat ein Kandidat 40% der abgegebenen Stimmen erhalten. Um zu prüfen, ob er seinen Stimmenanteil zumindest gehalten hat, wird einige Zeit vor der nächsten Wahl eine Umfrage durchgeführt. Von 100 Personen geben nur 34 an, dass sie diesen Kandidaten wählen werden. Kann man hieraus mit der Irrtumswahrscheinlichkeit 5% schließen, dass der Stimmenanteil des Kandidaten gesunken ist?

• Hypothesen aufstellen:
  \begin{align*}
  H_0:~ p \geq 0,4; ~ H_1: p < 0,4
  \end{align*}
  Text genau lesen! “mindestens 40% der Stimmen erhalten…” Das wäre gut und ist daher unsere Nullhypothese.
• Wir erkennen, dass es sich hierbei um einen einseitigen Hypothesentest handelt.Linksseitiger Hypothesentest, da sehr kleine Werte gegen $H_0$ sprechen.
• Erwartungswert/Punktschätzung berechnen:
  \begin{align*}
  \mu= n\cdot p = 100 \cdot 0,4 =40
  \end{align*}
• Standardabweichung berechnen und Laplace-Bedingung prüfen:
  \begin{align*}\sigma= \sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)} = \sqrt{100 \cdot 0,4\cdot (1-0,4)}=4,898 > 3 \quad \end{align*}
• Signifikanzniveau beachten:
  • $\alpha=0,05$ als Irrtumswahrscheinlichkeit
  • $1-\alpha=0,95$ als Sicherheitswahrscheinlichkeit
  • $z_{\alpha}$, da ein einseitiger Hypothesentest vorliegt

  Diesen Wert können wir in den Quantilen der Standardnormalverteilung ablesen.

• Annahme- und Ablehnungsbereich mit den $\sigma$-Regeln bestimmen. Allgemein gilt:
  \begin{align*}
  \left[ \mu – z_\alpha \cdot \sigma \right]
  \end{align*}Den Erwartungswert und die Standardabweichung kennen wir. Aus den Quantilen der Standardnormalverteilung folgt für $z_\alpha=1,6449$. Einsetzen und wir bekommen (abgerundet, da linksseitig) den Ablehnungs- und Annahmebereich:\begin{align*}\overline{A}=\left[ 0; 31\right] \quad \textrm{und} \quad A=\left[32; 100 \right]\end{align*}
• Entscheidungsregel aufstellen: $H_0$ wird verworfen, wenn höchstens 31 Personen den Kandidaten wählen.
• Testentscheidung anhand der gegebenen Stichprobe $n$:In der Aufgabe steht, dass 34 Personen angaben, dass sie den Kandidaten wählen werden. Die Stichprobe liefert das Ergebnis, dass $H_0$ nicht verworfen werden kann, also beibehalten wird, da sich der Wert der Stichprobe im Annahmebereich befindet und nicht im Ablehnungsbereich.
• Fehler 1. Art definieren und im Folgenden berechnen/beschreiben im Sachzusammenhang: Der Fehler 1. Art bedeutet, dass eine wahre Hypothese verworfen wird und diesen kann man Signifikanzniveau/Irrtumswahrscheinlichkeit, hier 5% ablesen. Das heißt, dass die $H_0$-Hypothese zu 5% irrtümlich abgelehnt wird.

Beispiel zum rechtsseitigen Hypothesentest:

In einer Limonaden-Fabrik werden Flaschen abgefüllt und verschlossen. Dabei werden nicht alle Flaschen ordnungsgemäß verschlossen. Stündlich werden 100 Flaschen kontrolliert. Erfahrungsgemäß werden nicht mehr als 20% der Flaschen falsch verschlossen. In einer Stichprobe werden 25 Flaschen gefunden, die falsch verschlossen sind.

1) Wie viele falsch verschlossene Flaschen dürfen höchstens in der Kontrolle gefunden werden? (Irrtumswahrscheinlichkeit = 5%)
2) Berechne den Fehler 2. Art, wenn tatsächlich 20% der Flaschen falsch verschlossen werden.

Zur Lösung der Aufgabe arbeiten wir das bekannte Vorgehen ab:

• Hypothesen aufstellen:
  \begin{align*}
  H_0:~ p \leq 0,2; ~ H_1: p > 0,2
  \end{align*}
  Text genau lesen! “höchstens 20% der Flaschen falsch verschlossen…”  ist unsere Nullhypothese.
• Wir erkennen, dass es sich hierbei um einen einseitigen Hypothesentest handelt, da hohe Werte gegen $H_0$ sprechen.
• Erwartungswert/Punktschätzung berechnen:
  \begin{align*}
  \mu= n\cdot p = 100 \cdot 0,2 =20
  \end{align*}
• Standardabweichung berechnen und Laplace-Bedingung prüfen:
  \begin{align*}\sigma= \sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)} = \sqrt{100 \cdot 0,2\cdot (1-0,2)}=4>3 \quad \end{align*}
• Signifikanzniveau beachten:
  • $\alpha=0,05$ als Irrtumswahrscheinlichkeit
  • $1-\alpha=0,95$ als Sicherheitswahrscheinlichkeit
  • $z_{\alpha}$, da ein einseitiger Hypothesentest vorliegt

  Diesen Wert können wir in den Quantilen der Standardnormalverteilung ablesen.

• Annahme- und Ablehnungsbereich mit den $\sigma$-Regeln bestimmen. Allgemein gilt:
  \begin{align*}
  \left[ \mu + z_\alpha \cdot \sigma \right]
  \end{align*}Den Erwartungswert und die Standardabweichung kennen wir. Aus den Quantilen der Standardnormalverteilung folgt für $z_\alpha=1,6449$. Einsetzen und wir bekommen (aufgerundet, da rechtsseitig) den Ablehnungs- und Annahmebereich:\begin{align*}\overline{A}=\left[27; 100 \right] \quad \textrm{und} \quad A=\left[ 0; 26 \right].\end{align*}
• Entscheidungsregel aufstellen: $H_0$ wird verworfen, wenn mehr als 26 Flaschen falsch verschlossen sind.
• Testentscheidung anhand der gegebenen Stichprobe $n$:In der Aufgabe steht, dass in der Stichprobe 25 Flaschen gefunden worden sind, die falsch verschlossen waren. Das bedeutet, dass dieser Wert in den Annahmebereich fällt. Die Stichprobe liefert das Ergebnis, dass $H_0$ nicht verworfen werden kann, also beibehalten wird, da sich der Wert der Stichprobe im Annahmebereich befindet.
• Fehler 1. Art definieren und im Folgenden berechnen/beschreiben im Sachzusammenhang:Der Fehler 1. Art bedeutet, dass eine wahre Hypothese verworfen wird und diesen man am Signifikanzniveau ablesen kann. Das heißt, dass die $H_0$ Hypothese zu 5% irrtümlich abgelehnt wird.
• Fehler 2. Art berechnen und im Sachzusammenhang beschreiben:Der Fehler 2. Art bedeutet, dass eine Hypothese angenommen wird obwohl diese in Wirklichkeit falsch ist. Wir berechnen den Fehler 2. Art wie gewohnt:\begin{align*}\beta&= P( X \leq 26) \approx \Phi \left( \frac{26+0,5-100\cdot 0,3}{\sqrt{100\cdot 0,3 \cdot (1-0,3)}} \right) = \Phi(-0,7637) \\&= 1- \Phi( 0,76) =1-0,7764 \approx 22,36\%\end{align*}Der Test fällt zu 22,36% in den Annahmebereich, obwohl mehr als 20% (nämlich 30%) falsch verschlossene Flaschen in der Stichprobe zu finden sind.

Beispiel

Es wird behauptet, dass mindestens 30% der Schüler bei ihrer Mathe-Abi-Klausur spicken. Um diese These zu überprüfen, werden 100 Schüler einer Schule befragt. Das Signifikanzniveau beträgt $\alpha = 5$%. Leite eine Entscheidungsregel her.

Zunächst stellen wir die Hypothesen auf. Das Signalwort im Aufgabentext ist mindestens, so dass wir direkt wissen, dass die Hypothesen wie folgt lauten:

\begin{align*}
H_0: p_0 \geq 0,3; \quad \textrm{und} \quad H_1: p_1 < 0,3
\end{align*}

Aus dem Aufgabentext können wir ebenfalls entnehmen, dass der Stichprobenumfang $n=100$ ist und das Signifikanzniveau bei 5% liegt. Die Irrtumswahrscheinlichkeit ist sehr wichtig, denn sie legt den kritischen Wert fest, ab wann wir die Nullhypothese annehmen. Zur Veranschaulichung ist die Funktion der Binomialverteilung nochmal grafisch dargestellt.

Es gilt jetzt also den kritischen Wert mit Hilfe der passenden $F$-Tabelle (das war die mit den kumulierten Wahrscheinlichkeiten) zu bestimmen. Der passende Ausschnitt, den ihr in der Klausur selbst heraussuchen müsst, ist ebenfalls dargestellt.

Er zeigt die $F$-Tabelle für $n=100$ für die Wahrscheinlichkeit $p=0,3$.

Folgende Bedingung gilt für den Ablehnungsbereich: $P(X \leq k) \leq \underbrace{0,05}_{\alpha}$.

Wir suchen in der Tabelle jetzt die Wahrscheinlichkeit, die gerade kleiner oder gleich der Irrtumswahrscheinlichkeit i.H.v. 0,05 ist. Wir sehen, dass für $k=22$ der Wert gerade noch unter 0,05 ist, aber bei $k=23$ wird der Wert schon überstiegen.

Ihr könnt in der Klausur dann schreiben:
\begin{align*}
P(X \leq k) = \ &F(100;~0,3~;k) \leq 0,05 \notag \\
&F(100;~0,3~;22) = 0,0479 \leq 0,05 \quad  \notag \\
&F(100;~0,3~;23) = 0,0755 > 0,05 \quad  \notag
\end{align*}

Wir nehmen für den kritischen Wert den Wert, der so gerade unterhalb von 0,05 liegt. Daraus folgt für den Ablehnungs- und Annahmebereich:

\begin{align*}
\overline{A}=[0 ; 22] \quad \textrm{und} \quad A=[23 ; 100]
\end{align*}

Denkt daran, die Entscheidungsregeln aufzustellen und auszuformulieren! Wenn von insgesamt 100 Schülern höchstens 22 sagen, dass sie spicken, dann wird die Nullhypothese verworfen.
Wenn insgesamt 23 oder mehr Schüler sagen, dass sie spicken, dann wird die $H_0$-Hypothese beibehalten.

Beispiel:

Es wird behauptet, dass höchstens 30% der Schüler bei ihrer Mathe-Abi-Klausur spicken. Um diese These zu überprüfen, werden 100 Schüler einer Schule befragt. Das Signifikanzniveau beträgt $\alpha = 5$%. Leite eine Entscheidungsregel her.

Zunächst stellen wir die Hypothesen auf. Das Signalwort im Aufgabentext ist höchstens, so dass wir direkt wissen, dass die Hypothesen wie folgt lauten:

\begin{align*}
H_0: p_0 \leq 0,3; \quad \textrm{und} \quad H_1: p_1 > 0,3
\end{align*}

Aus dem Aufgabentext können wir noch entnehmen, dass der Stichprobenumfang $n=100$ ist und das Signifikanzniveau bei 5% liegt. Die Irrtungswahrscheinlichkeit ist sehr wichtig, denn sie legt den kritischen Wert fest, ab wann wir die Nullhypothese annehmen.

Zur Veranschaulichung ist die Funktion der Binomialverteilung nochmal grafisch dargestellt. Es gilt jetzt also den kritischen Wert mit Hilfe der $F$-Tabelle (das war die mit den kumulierten Wahrscheinlichkeiten) zu bestimmen. Der passende Ausschnitt, den ihr in der Klausur selbst heraussuchen müsst, ist ebenfalls dargestellt. Dieser zeigt die $F$-Tabelle für $n=100$ und $p=0,3$.

Im Gegensatz zum linksseitigen Hypothesentest müssen wir beim Festlegen des Ablehnungsbereichs etwas aufpassen, denn die Bedingung

\begin{align*}
P(X\geq k)\leq \underbrace{0,05}_{\alpha}
\end{align*}

muss zunächst mit der Gegenwahrscheinlichkeit umgeschrieben werden. Warum? Weil wir nur mit Tabellen arbeiten, die die Wahrscheinlichkeiten von 0 bis $k$ summieren und nicht von $k$ bis $n$.

Daher folgt aus der Bedingung:

\begin{align*}
P(X\geq k)\leq 0,05 \ \Leftrightarrow \ 1-P(X\leq k-1)\leq 0,05 \ \Leftrightarrow \ 0,95 \leq P(X\leq k-1)
\end{align*}

Wir suchen in der entsprechenden $F$-Tabelle den Wert, der gerade größer oder gleich 0,95 ist. Für $k=37$ liegen wir gerade noch unter 0,95, aber bei $k=38$ wird der Wert von 0,95 erstmalig überschritten. Das ist der Wert, mit dem wir gleich den Ablehnungsbereich bestimmen. Mathematisch könnt ihr das in der Klausur wiefolgt aufschreiben:

\begin{align*}
0,95 &\leq P(X\leq k-1) \\
0,95 &\leq F(100;~0,3~;k -1) \\
0,95 &\leq F(100;~0,3~;37) = 0,947 \quad  \\
0,95 &\leq F(100;~0,3~;\underbrace{38}_{=k-1}) = 0,966 \quad  \notag
\end{align*}

Wir nehmen für den kritischen Wert den Wert, der so gerade oberhalb von 0,95 liegt. Jetzt müssen wir noch kurz aufpassen, denn der kritische Wert ist $k-1=38$, also $k=39$.

Damit folgt für den Ablehnungs- und Annahmebereich:

\begin{align*}
\overline{A}=[39; 100] \quad \textrm{und} \quad A=[0; 38].
\end{align*}

Denkt daran, die Entscheidungsregeln aufzustellen und auszuformulieren! Wenn von insgesamt 100 Schülern mindestens 39 sagen, dass sie spicken, dann wird die Nullhypothese verworfen.
Wenn insgesamt 38 oder weniger Schüler sagen, dass sie spicken, dann können wir die $H_0$-Hypothese bestätigen.

Beispiel:

Es wird behauptet, dass sich die Quote, dass 30% der Schüler bei ihrer Mathe-Abi-Klausur spicken, geändert hat. Um diese These zu überprüfen, werden 100 Schüler einer Schule befragt. Das Signifikanzniveau beträgt $\alpha = 5$%. Leite eine Entscheidungsregel her.

Zunächst stellen wir die Hypothesen auf. Das Signalwort im Aufgabentext ist geändert, so dass wir direkt wissen, dass die Hypothesen wie folgt lauten:

\begin{align}
H_0: p_0 = 0,3 \quad \textrm{und} \quad H_1: p_1 \neq 0,3 \notag
\end{align}

Die restlichen Abläufe sind wie bei dem einseitigen Test. Wir machen quasi einen links- und rechtsseitigen Test in Einem. Einziger Unterschied: Wir müssen beim Signifikanzniveau $\alpha$ aufpassen, da es auf die beiden Ablehnungsbereiche aufgeteilt wird. Die Verteilung ist in der folgenden Abbildung mit den entsprechenden Ausschnitten der $F$-Tabelle dargestellt.

Aus den Bedingungen folgt für die kritischen Werte des Ablehnungsbereichs:

\begin{align*}
F(100;~0,3~;k_l) &\leq 0,025 \notag \\
F(100;~0,3~;20) &= 0,0165 \leq 0,025 \quad  \notag \\
F(100;~0,3~;21) &= 0,0288 > 0,025 \quad  \notag
\end{align*}

\begin{align*}
0,975 &\leq F(100;~0,3~;k_r-1) \notag \\
0,975 &\leq F(100;~0,3~;38) = 0,966 \quad  \notag \\
0,975 &\leq F(100;~0,3~;\underbrace{39}_{k_r-1}) = 0,979 \quad  \notag
\end{align*}

Wir nehmen für den kritischen Wert $k_r$ den Wert, der so gerade oberhalb von 0,975 liegt. Jetzt müssen wir noch kurz aufpassen, denn der kritische Wert ist $k_r-1=39$, also $k_r=40$. Damit folgt für den Ablehnungs- und Annahmebereich:

\begin{align*}
\overline{A}=[0; 20] \cup [40; 100] \quad \textrm{und} \quad A=[21; 39]
\end{align*}

Wenn von insgesamt 100 Schülern höchstens 20 und mindestens 40 angeben, sie spicken in der Abi-Klausur, dann würde die Hypothese abgelehnt werden. Wenn im Bereich 21 bis 39 Schüler angeben, dass sie in der Klausur spicken, dann wird die Hypothese bestätigt und wir bleiben dabei.