Prozentrechnung
Die Prozentrechnung wird immer dann angewendet, wenn ein Anteile von einem Ganzen bestimmt werden soll. Das ist zum Beispiel beim Winterschlussverkauf der Fall. Dort tauch die Prozentrechnung getarnt als Rabatt auf: „25% auf Alles“. Wie du mit dieser Aussage den endgültigen Preis genau berechnen kannst lernst du unter anderem in diesem Artikel.
Theme zur Prozentrechnung auf dieser Seite:
Prozentrechner
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Prozentrechnung Formeln
Die meisten Schüler bekommen die Prozentrechnung unter Anwendung von drei verschiedenen Formeln vermittelt. Im Rahmen dieser Formeln spielen die drei folgenden Begriffe, einschließlich ihrer Abkürzungen, in der Prozentrechnung eine zentrale Rolle:
\begin{align*}
&\textrm{Grundwert} (G)=\frac{\textrm{Prozentwert} (W)\ \cdot \ 100}{\textrm{Prozentsatz} (p)} \\ \\
&\textrm{Prozentwert} (W)=\frac{\textrm{Grundwert} (G)\ \cdot \ \textrm{Prozentsatz} (p)}{100} \\ \\
&\textrm{Prozentsatz} (p)=\frac{\textrm{Prozentwert} (W)\ \cdot \ 100}{\textrm{Grundwert} (G)}
\end{align*}
Die folgenden Aufgaben sollen die obenstehenden Formeln verdeutlichen und kurz zeigen, wie diese angewendet werden. Denkt bei eurem Antwortsatz immer an die Einheiten!
Prozentwert berechnen
Aufgabenstellung 1) Berechne 10 Prozent von 500 kg
Bei dieser Aufgabe ist der Prozentwert $W$ gesucht. Wir verwenden also unsere Formel für den Prozentwert und erhalten:
\[\textrm{Prozentwert} (W)=\frac{\textrm{Grundwert} (G)\cdot \textrm{Prozentsatz}(p)}{100}=\frac{500kg\cdot 10}{100}=\frac{5000kg}{100}=50\ kg\]
An dieser Stelle ist es unter Umständen einfacher und in jedem Fall schneller, 10% von 500 kg auf eine andere Art und Weise zu berechnen. Dazu machen wir uns klar, dass der folgende Zusammenhang gilt:
\[10\%=\frac{10}{100}=0,1. \]
Mit Hilfe dieses Wissens berechnen wir jetzt: $0,1\cdot 500\ kg=50\ kg$.
Ihr dürft natürlich selber entscheiden, welcher Rechenweg euch mehr zusagt. Welchen der beiden Wege ihr letztendlich benutzt spielt in der Prüfung keine Rolle.
2. Wie viel Prozent sind 60 cm von 300 cm? Wir suchen den Prozentsatz und berechnen mit der entsprechenden Formel:
\[p=\frac{W\cdot 100}{G}=\frac{60\cdot 100}{300}=\frac{6000}{300}=20\ \%\]
Antwort: 60cm sind 20 Prozent von 300cm.
Schau dir zur Wiederholung zum Thema Prozentrechnung folgendes Erklärvideo an.
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Grundwert berechnen
Zur Erinnerung, die Formel um den Grundwert zu berechnen lautet:
\begin{align*}
\textrm{Grundwert} (G)=\frac{\textrm{Prozentwert} (W)\ \cdot \ 100}{\textrm{Prozentsatz} (p)}
\end{align*}
Eine ebenso wichtige Rolle in der Prozentrechnung spielen die Aufgaben zum vermehrten und zum verminderten Grundwert. Auch dazu wollen wir uns jeweils eine Aufgabe angucken.
Der Preis einer Hose wurde um 25 Prozent erhöht und beträgt jetzt 200 €. Wie hoch war der ursprüngliche Preis der Hose?
Hier müssen wir berücksichtigen, dass der Grundwert bereits um 25 Prozent erhöht wurde und unser Prozentwert demnach 25 Prozent mehr ausmacht. Das bedeutet, dass unser Prozentwert 125% entspricht. Gesucht ist der ursprüngliche Preis unserer Hose, also der Grundwert. Wir setzen unsere entsprechenden Werte in die Formel ein und erhalten:
\begin{align*}
G=\frac{W\cdot 100}{p}=\frac{200\cdot 100}{125}=\frac{20000}{125}=160
\end{align*}
Antwort: Der ursprüngliche Preis unserer Hose betrug also 160€.
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Verminderter Grundwert
Aufgabenstellung 1:
Der Preis einer Hose wurde um den Prozentsatz von 20% gesenkt und beträgt jetzt 120€. Wie hoch war der ursprüngliche Preis der Hose?
Unser Grundwert wurde um 20 Prozent reduziert. Der jetzt übriggebliebene Prozentwert entspricht also $100\%-20\%=80\%$. Gesucht ist also wieder unser ursprünglicher Grundwert. Wir setzen die uns bekannten Werte in die Formel ein und erhalten:
\[G=\frac{W\cdot 100}{p}=\frac{120\cdot 100}{80}=\frac{12000}{80}=150\ \]
Antwort: Ursprünglich kostete die Hose also 150€.
Aufgabenstellung 2:
Es sind bereits 20 m eines Weges gepflastert. Das sind 40% der Gesamtlänge. Welche Gesamtlänge hat der Weg? In diesem Fall ist der Grundwert gesucht. Wir verwenden die uns bekannte Formel und erhalten:
\[G=\frac{W\ \cdot \ 100}{p}=\frac{20m\ \cdot \ 100}{40}=\frac{2000m}{40}=50m\]
Antwort: Der Weg hat eine Gesamtlänge von 50m
Prozentsatz berechnen
Um den Prozentsatz zu berechnen, nutzen wir folgende Formel:
\begin{align*}
\textrm{Prozentsatz} (p)=\frac{\textrm{Prozentwert} (W)\ \cdot \ 100}{\textrm{Grundwert} (G)}
\end{align*}
Aufgabenstellung 1:
Wie viel Prozent sind 60 cm von 300 cm? Wir suchen den Prozentsatz und berechnen mit der entsprechenden Formel:
\[p=\frac{W\cdot 100}{G}=\frac{60cm\cdot 100}{300}=\frac{6000cm}{300}=20\ \%\]
Antwort: Der Prozentsatz beträgt 20 Prozent.
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Abschließende Beispielaufgabe Prozentrechnung
Eine Dose mit 125g Fruchtgummi kostet 1,50€. Ein Discounter wirbt mit folgendem Plakat:
Angebot! 125g + 30% mehr Inhalt für nur 1,99€
- Berechne, wie viel Gramm Fruchtgummi im Angebot verkauft werden.
- Ist das Angebot im Vergleich zu vorher günstiger? Begründe Deine Entscheidung.
Lösung:
Aufgabenteil 1:
Wir erhalten laut des Angebots eine zusätzliche Menge von 30 %. An dieser Stelle können wir mit einer einfachen Rechnung direkt berechnen, welche Menge wir im Angebot erhalten:
\begin{align*}
125g \cdot 1,3 = 162,5 g
\end{align*}
Wir erhalten im Angebot also $162,5g$ Fruchtgummi.
Aufgabenteil 2:
Wir sollen jetzt herausfinden, ob das Angebot, im Vergleich zum ursprünglichen Preis wirklich günstiger ist. Deswegen berechnen wir jetzt den jeweiligen Preis pro $100g$:
\begin{align*}
1,50 : 125 \cdot 100 = 1,20
\end{align*}
Wenn wir den ursprünglichen Preis zu Grunde legen kosten $100?$ Fruchtgummi genau $1,20$ €.
Anschließend berechnen wir den Preis pro $100?$ basierend auf dem Angebotspreis:
\begin{align*}
1,99 : 162,5 \cdot 100 \approx 1,22
\end{align*}
Basierend auf dem Angebotspreis, kosten $100?$ Fruchtgummi circa $\approx 1,22$ €. Das beschriebene Angebot ist also gar kein Angebot, sondern lediglich eine Mogelpackung.
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