Quadratische Gleichungen
In diesem Artikel erklären wir dir alles Wissenwerte zum Thema quadratische Gleichungen. Dabei gehen wir auch im Detail auf die verschiedenen Formen der quadratischen Gleichungen ein.
Schau dir zunächst das Einführungsvideo zum Thema quadratische Gleichungen an, um einen Überblick zu erhalten!
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Quadratische Gleichungen der Form ${\boldsymbol{\mathrm{a}}\boldsymbol{\mathrm{\cdot }}\boldsymbol{\mathrm{x}}}^{\boldsymbol{\mathrm{2}}}\boldsymbol{\mathrm{+}}\boldsymbol{\mathrm{c}}\boldsymbol{\mathrm{=}}\boldsymbol{\mathrm{0}}$
Quadratische Gleichungen dieser Form enthalten einen quadratischen Teil, ${\mathrm{a}\mathrm{\cdot }\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}$ und eine konstante Zahl $c$. Sie lassen sich ohne die Benutzung der $pq$-Formel oder der quadratischen Ergänzung lösen. Ihr müsst zuerst die konstante Zahl auf die andere Seite der Gleichung bringen:
\[{\mathrm{2}\mathrm{\cdot }\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{32=0\ } \mathrm{|+32}\]
\[{\mathrm{2}\mathrm{\cdot }\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{=32}\]
Anschließend wird durch den Faktor, welcher vor dem ${\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}$ steht, geteilt:
\[{\mathrm{2}\mathrm{\cdot }\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{=32\ } \mathrm{|\ :2}\]
Wir erhalten:
\[{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{=16}\]
Zum Schluss wird die Wurzel gezogen und ihr erhaltet zwei Lösungen:
\[{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{=16\ } \mathrm{|\ }\mathrm{\sqrt{}}\]
\[{\mathrm{x}}_{\mathrm{1}}\mathrm{=4\ \ }\mathrm{\vee }\mathrm{\ \ }{\mathrm{x}}_{\mathrm{2}}\mathrm{=-4}.\]
Also lautet die Lösungsmenge: $\mathbb{L}\mathrm{=}\left\{\mathrm{-}\mathrm{4\ }\mathrm{;}\right.\left.\mathrm{\ 4}\right\}$.
Merkt euch, dass ihr, nach dem ihr die Wurzel gezogen habt, immer zwei Lösungen erhaltet. Eine ist positiv und eine ist negativ. Ausnahme: $\sqrt{0}\mathrm{=0.}$ Außerdem müsst ihr wissen, dass es nicht möglich ist, aus einer negativen Zahl die Wurzel zu ziehen. Die Gleichung ${\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+1=0}$ hat keine Lösung, ihre Lösungsmenge ist die leere Menge $\mathbb{L}\mathrm{=}\mathrm{\emptyset }\mathrm{.}$
Quadratische Gleichungen der Form $\boldsymbol{\mathrm{a}}\boldsymbol{\mathrm{\cdot }}{\boldsymbol{\mathrm{x}}}^{\boldsymbol{\mathrm{2}}}\boldsymbol{\mathrm{+}}\boldsymbol{\mathrm{b}}\boldsymbol{\mathrm{\cdot }}\boldsymbol{\mathrm{x}}\boldsymbol{\mathrm{=}}\boldsymbol{\mathrm{0}}$
Quadratische Gleichungen dieser Form enthalten einen quadratischen Teil, ${\mathrm{a}\mathrm{\cdot }\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}$ und einen linearen Teil $\mathrm{b}\mathrm{\cdot }\mathrm{x}$:
\[{\mathrm{2}\mathrm{\cdot }\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+8}\mathrm{\cdot }\mathrm{x=0}.\]
Auch diese quadratischen Gleichungen lassen sich ohne die Benutzung der $pq$-Formel oder der quadratischen Ergänzung lösen. Als erstes müsst ihr einen gemeinsamen Faktor ausklammern. Dieser gemeinsame Teil ist in fast allen Fällen das $x$:
\[\mathrm{x}\mathrm{\cdot }\left(\mathrm{2}\mathrm{\cdot }\mathrm{x+8}\right)\mathrm{=0.}\]
Anschließend braucht ihr den folgenden Satz: ,,Ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn mindestens ein Faktor gleich Null ist.“ Das klingt im ersten Moment ziemlich verwirrend und unverständlich. Wenn wir uns diesen Satz aber mal genauer angucken, bedeutet er, dass wenn wir zwei Faktoren miteinander multiplizieren und das Ergebnis Null sein soll, mindestens einer der beiden Faktoren Null sein muss. Denn, nur wenn wir mit Null multiplizieren, erhalten wir im Ergebnis auch Null. Also:
\[{\mathrm{x}}_{\mathrm{1}}\mathrm{=0\ \ }\mathrm{\vee }{\mathrm{\ \ 2}\mathrm{\cdot }\mathrm{x}}_{\mathrm{2}}\mathrm{+8=0}\]
Diese zweite (lineare) Gleichung brauchen wir jetzt nur noch nach x aufzulösen:
\[{\mathrm{2}\mathrm{\cdot }\mathrm{x}}_{\mathrm{2}}\mathrm{+8=0\ }\mathrm{|-8}\]
\[{\mathrm{2}\mathrm{\cdot }\mathrm{x}}_{\mathrm{2}}\mathrm{=-8} \ \mathrm{|:2}\]
\[{\mathrm{x}}_{\mathrm{2}}\mathrm{=-4}\]
Unsere beiden Lösungen lauten also: $\mathbb{L}\mathrm{=}\left\{\mathrm{0\ }\mathrm{;}\mathrm{\ }\right.\left.\mathrm{-}\mathrm{4}\right\}$
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Quadratische Gleichungen der Form $\boldsymbol{\mathrm{a}}\boldsymbol{\mathrm{\cdot }}{\boldsymbol{\mathrm{x}}}^{\boldsymbol{\mathrm{2}}}\boldsymbol{\mathrm{+}}\boldsymbol{\mathrm{b}}\boldsymbol{\mathrm{\cdot }}\boldsymbol{\mathrm{x}}\boldsymbol{\mathrm{+}}\boldsymbol{\mathrm{c}}\boldsymbol{\mathrm{=}}\boldsymbol{\mathrm{0}}$
Quadratische Gleichungen dieser Form enthalten einen quadratischen Teil, $\mathrm{a}\mathrm{\cdot }{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}$, einen linearen Teil, $\mathrm{b}\mathrm{\cdot }\mathrm{x}$ und eine konstante Zahl, c. Gleichungen dieser Form müssen mit Hilfe der $pq$-Formel oder der quadratischen Ergänzung gelöst werden.
Als erstes gucken wir uns den Lösungsweg mittels der $pq$-Formel an:
\[{\mathrm{2}x}^{\mathrm{2}}\mathrm{+16}\mathrm{\cdot }x\mathrm{+14=0}.\]
Bevor wir die $pq$-Formel anwenden dürfen, müssen wir die Gleichung zuerst normieren. Das bedeutet, dass wir die gesamte Gleichung durch den Faktor, welcher vor dem $x^{\mathrm{2}}$ steht, teilen müssen. Hinterher soll sie die folgende Form haben:
\[x^{\mathrm{2}}\mathrm{+}p\mathrm{\cdot }x\mathrm{+}q\mathrm{=0.}\]
In unserem Fall teilen wir die Gleichung also durch $2$ und erhalten:
\[x^{\mathrm{2}}\mathrm{+8}\mathrm{\cdot }x\mathrm{+7=0}.\]
Jetzt können wir unsere Werte für $p$ und $q$ einfach ablesen, $p\mathrm{=8\ }$und $q\mathrm{=7.}$ Das $p$ ist immer der Wert, welcher vor dem linearen Teil steht und unser $q$ ist immer die konstante Zahl in unserer Gleichung. Bitte achtet darauf, dass ihr auch die Vorzeichen der beiden Werte mitnehmt, $p$ und $q$ können also auch negativ sein. Jetzt sind wir soweit, dass wir die $pq$-Formel anwenden dürfen. Die $pq$-Formel lautet:
\[x_{\mathrm{1/2}}\mathrm{=-}\frac{p}{\mathrm{2}}\mathrm{\pm }\sqrt{{\left.\left(\ \frac{p}{2}\ \right.\right)}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}q}.\]
Als nächstes setzen wir die Werte für $p$ und $q$ in die $pq$-Formel ein:
\[x_{\mathrm{1/2}}\mathrm{=-}\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{2}}\mathrm{\pm }\sqrt{{\left.\left(\ \frac{8}{2}\ \right.\right)}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{7}}\]
\[x_{1/2}\mathrm{=-4\pm }\sqrt{{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{7}}\]
\[x_{1/2}\mathrm{=-4\pm }\sqrt{\mathrm{16-7}}\]
\[x_{1/2}\mathrm{=-4\pm }\sqrt{\mathrm{9}}\]
\[x_{\mathrm{1/2}}\mathrm{=-4\pm 3}\]
An dieser Stelle müssen wir jetzt nur noch unsere beiden Lösungen berechnen:
\[x_{\mathrm{1}}\mathrm{=-4+3=-1\ \ }\mathrm{\vee }{\ \ x}_{\mathrm{2}}\mathrm{=-4-3=-7}\]
Die Lösungsmenge lautet: $\mathbb{L}\mathrm{=}\left\{\mathrm{-}\mathrm{7}\mathrm{;}\right.\left.\mathrm{-}\mathrm{1}\right\}$
Der Term unter der Wurzel (Diskriminante) entscheidet, wie viele Lösungen unsere quadratische Gleichung hat. Ihr könnt euch die folgende Regel merken:
- $D>0: 2$ Lösungen
- $D=0: 1$ Lösung
- $D<0: $ keine Lösung
Selbstverständlich können wir eine der Gleichung der Form $a\mathrm{\cdot }x^{\mathrm{2}}\mathrm{+}b\mathrm{\cdot }x\mathrm{+}c\mathrm{=0}$ auch mit der quadratischen Ergänzung lösen. Für welchen Weg ihr euch entscheidet, ist euch überlassen. Manche von euch kommen besser mit der $pq$-Formel zurecht und andere wiederum mit der quadratischen Ergänzung. Wenn ihr lieber die quadratische Ergänzung anwenden möchtet, müsst ihr zuerst wieder die Gleichung durch den Faktor vor dem $x^{\mathrm{2\ }}$ teilen und wir erhalten:
\[x^{\mathrm{2}}\mathrm{+8}\mathrm{\cdot }x\mathrm{+7=0}\]
Im nächsten Schritt bringen wir die konstante Zahl auf die andere Seite der Gleichung:
\[x^{\mathrm{2}}\mathrm{+8}\mathrm{\cdot }x\mathrm{=-7}\]
Nun folgt die eigentliche quadratische Ergänzung. Ihr nehmt euch die Hälfte der Zahl, welche vor dem linearen $x$ steht, also $\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{2}}\mathrm{=4}$ und quadriert diese:
${\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}\mathrm{=16}$. Dieser Teil wird nun auf beiden Seiten der Gleichung ergänzt:
\[x^{\mathrm{2}}\mathrm{+8}\mathrm{\cdot }x\mathrm{+}{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}\mathrm{=-7+}{\mathrm{4}}^{\mathrm{2}}\]
Auf der linken Seite können wir jetzt die binomischen Formeln anwenden, in unserem Fall ist das die erste binomische Formel. Auf der rechten Seite wird zusammengefasst:
\[{\mathrm{(}x\mathrm{+4)}}^{\mathrm{2}}\mathrm{=9}\]
An dieser Stelle wird nicht die Klammer ausmultipliziert, sondern wir ziehen die Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung und erhalten (Aufpassen, denn auf der rechten Seite erhalten wir wieder zwei Lösungen, eine positive und eine negative, auf der linken Seite heben sich Quadrieren und Wurzelziehen auf):
\[x\mathrm{+4=\pm 3}\]
Zuletzt müssen wir unsere beiden Lösungen berechnen:
\[{\mathrm{x}}_{\mathrm{1}}\mathrm{+}\mathrm{4=3} \mathrm{|-4} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathrm{\vee }\mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }{\mathrm{x}}_{\mathrm{2}}\mathrm{+4=-3} \mathrm{|-4}\]
\[{\mathrm{x}}_{\mathrm{1}}\mathrm{=3-4=-1} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathrm{\vee } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathrm{\ }{\mathrm{x}}_{\mathrm{2}}\mathrm{=-3-4=-7}\]
In Daniels Playlist zu quadratischen Gleichungen findest du viele hilfreiche Videos!
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