Körper in der Mathematik
Im folgenden Artikel erklären wir dir alles Wichtige zum Thema Mathematische Körper. Du kannst im folgenden den gewünschten Körper auswählen:
Daniel erzählt euch alles zum Thema „Mathematische Körper“
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Würfel
Eigenschaften:
- alle Kanten sind gleich lang
- alle 6 Flächen sind gleich groß
Formeln:
- Oberflächeninhalt: $O=6\cdot a^2$
- Volumen: $V=a\cdot a\cdot a=a^3$
Quader
Formeln:
- Oberflächeninhalt: $O=2\cdot a\cdot b+2\cdot a\cdot c+2 \cdot b\cdot c =2 \cdot (a\cdot b+a\cdot c+b\cdot c)$
- Volumen: $V=a \cdot b\cdot c$
Pyramide (quadratisch)
Formeln:
- Oberflächeninhalt: $\mathrm{O=}a^2+2\cdot a\cdot h_a$
- Volumen: $\mathrm{V=}\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot h_k=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h_k$
Außerdem gelten nach dem Satz des Pythagoras die folgenden Zusammenhänge:
${\left(\frac{a}{2}\right)}^2+h^2_k=h^2_a$ und ${\left(\frac{a}{2}\right)}^2+h^2_a=s^2$
Zylinder
Formeln:
- Oberflächeninhalt: $O=2\cdot \pi \cdot r^2+2\cdot \pi \cdot r\cdot h$
- Mantelfläche: $M=2\cdot \pi \cdot r\cdot h$
- Volumen: $V=\pi \cdot r^2\cdot h=G\cdot h$
Kegel
Formeln:
- Oberflächeninhalt: $O=\pi \cdot r\cdot (r+s)$
- Mantelfläche: $M=r\cdot s\cdot \pi $
- Volumen: $V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot h=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h$
Außerdem gilt nach dem Satz des Pythagoras der folgende Zusammenhang:
\[r^2+h^2=s^2\]
Kugel
Formeln:
- Oberflächeninhalt: $O=4\cdot \pi \cdot r^2$
- Volumen: $V=\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3$
Beispielaufgaben
Volumen eines Würfels
Ein Würfel hat ein Volumen von $64cm^3$. Wie groß ist seine Oberfläche?
Lösung
Die Oberfläche eines Würfels wird mit der folgenden Formel berechnet:
\begin{align*}
O=6 \cdot a^2
\end{align*}
Es wird also die Grundkantenlänge des Würfels benötigt. Dazu wird das in der Aufgabe gegebene Volumen in die Volumenformel für einen Würfel eingesetzt:
\begin{align*}
V=a^3 \Leftrightarrow 64 = a^3
\end{align*}
Um die Grundkantenlänge bestimmen zu können, muss jetzt die dritte Wurzel aus $64$ gezogen werden:
\begin{align*}
64=a^3 \rightarrow a = \sqrt[3]{64} = 4cm
\end{align*}
Zum Schluss wird jetzt noch der eben berechnete Wert in die Oberflächenformel eingesetzt:
\begin{align*}
O = 6*4^2 = 96cm^2
\end{align*}
Der Würfel hat einen Oberflächeninhalt von $96cm^2$.
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Beispielaufgabe Volumen eines Brunnens
Der Marktplatz in Paderborn soll einen neuen Brunnen bekommen. Unterhalb ist eine vorläufige Bauskizze zu sehen:
- Lediglich der innere Teil des Brunnens soll mit Wasser gefüllt sein. Der Brunnen wird eine Wassertiefe von Wie viel Liter Wasser fasst der Brunnen?
- Der äußere Ring soll den Bürgern als Sitzmöglichkeit zur Verfügung stehen. Wie groß ist die Fläche, welche zukünftig als Sitzgelegenheit zur genutzt werden kann?
Lösungen:
Aufgabenteil 1:
Es wird das Volumen des Brunnens in Litern gesucht. Mathematisch gesehen, handelt es sich bei diesem Körper um einen Zylinder. Das Volumen eines Zylinders wird mit der folgenden Formel berechnet:
\begin{align*}
V=\pi \cdot r^2\cdot h
\end{align*}
Der Radius beträgt laut Skizze $?=4m$ und die Höhe laut Aufgabentext $h=0,5?$. Nun werden die beiden Werte in die Volumenformel eingesetzt:
\begin{align*}
V=\pi \cdot 4^2\cdot 0,5 \approx 25,1m^3
\end{align*}
Anschließend muss das Ergebnis noch in der Einheit Liter angegeben werden. Dazu muss man den folgenden Zusammenhang kennen:
\begin{align*}
1l=1dm^3
\end{align*}
Die $25,1m^3$ müssen also in $dm^3$ bzw. Liter umgewandelt werden:
\begin{align*}
25,1m^3=25100dm^3(ℓ)
\end{align*}
Der Brunnen fasst also $25100 ℓ$ Wasser.
Aufgabenteil 2:
Es wird der Flächeninhalt des äußeren Kreisringes gesucht. Grundsätzlich wird die Fläche eines Kreisringes mit der folgenden Formel berechnet:
\begin{align*}
A=\pi \cdot (r_2^2-r_1^2)
\end{align*}
$r_2$ steht für den äußeren Radius und $r_1$ für den inneren Radius. Wir setzen beide Radien in die obige Formel ein und erhalten:
\begin{align*}
A=\pi \cdot (5^2-4^2) \approx 28,3m^2
\end{align*}
Die Größe der Sitzfläche beträgt circa $28,3m^2$.
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