Median, Mittelwert und Häufigkeiten
In diesem Artikel klären wir die Begriffe Median, Mittelwert und widmen uns dem Thema Häufigkeiten. Du kannst hier zu deinem gewünschten Thema navigieren:
- Absolute und relative Häufigkeit
- Median und Zentralwert
- Streifen-, Säulen- und Kreisdiagramme
- Beispielaufgabe
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Absolute und relative Häufigkeit
Wir betrachten die Notenverteilung bei einer Klassenarbeit. Wir nehmen an, dass die folgenden Noten geschrieben wurden:
\[2;2;2;3;1;5;6;4;5;3\]
Bei dieser ungeordneten Darstellung handelt es sich um eine Urliste. Zur besseren Übersicht werden wir diese Urliste jetzt in einer geordneten Rangliste darstellen:
\[1;2;2;2;3;3;4;5;5;6\]
Als nächstes wollen wir die absolute Häufigkeit der einzelnen Noten herausfinden. Dazu legen wir eine Tabelle an:
Wir sehen jetzt, dass die Note mangelhaft z.B. zweimal auftaucht. Ihre absolute Häufigkeit ist also zwei.
\[\mathrm{relative\ Haeufigkeit}=\frac{\mathrm{absolute\ Haeufigkeit}}{\mathrm{Gesamtzahl}}\]
Im nächsten Schritt berechnen wir die relative Häufigkeit. Grundsätzlich gilt zur Berechnung der relativen Häufigkeit die folgende Formel:
Insgesamt wurde die Klassenarbeit von 10 Schülern mitgeschrieben. Unsere Gesamtanzahl ist also 10.
Es ist also möglich, die relative Häufigkeit als Bruch, als Dezimalbruch oder in Prozentschreibweise anzugeben. Die relativen Häufigkeiten müssen in der Summe entweder 100% oder 1 ergeben.
Daniel erklärt euch nochmal den Unterschied zwischen absoluter und relativer Häufigkeit
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Arithmetisches Mittel oder Mittelwert
Bei der Besprechung von Klassenarbeiten wird häufig die Durchschnittsnote mit angegeben. Wir wollen die Durchschnittsnote der vorliegenden Klassenarbeit berechnen. Beim Durchschnitt handelt es sich mathematisch gesehen um das arithmetische Mittel oder den Mittelwert. Bei der Berechnung des arithmetischen Mittels gehen wir wie folgt vor:
\[\overline{x}=\frac{1\cdot 1+2\cdot 3+3\cdot 2+4\cdot 1+5\cdot 2+6\cdot 1}{10}=\frac{33}{10}=3,3\]
Der Durchschnitt der Klassenarbeit ist also 3,3.
Ganz allgemein gilt für das arithmetische Mittel die folgende Formel:
\[\overline{x}=\frac{\mathrm{Summe\ aller\ Wert}\mathrm{e}}{\mathrm{Anzahl\ der\ Werte}}\]
Ein weiterer wichtiger Wert ist der sogenannte Modus oder Modalwert. Der Modus oder Modalwert ist der Wert, welcher die größte absolute Häufigkeit hat. In unserem Fall kommt die Note gut am häufigsten vor, nämlich drei Mal.
Der Modalwert oder Modus in unserem Beispiel lautet also: $x_M=3$.
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Median und Zentralwert
Der Median oder auch Zentralwert $\tilde{x}$ („x Schlange“), ist der Wert, welcher bei einer geordneten Rangliste in der Mitte steht. Um den Median bestimmen zu können, muss also zuerst eine geordnete Rangliste gebildet werden. Wir gehen jetzt davon aus, dass uns die folgende geordnete Rangliste vorliegt:
\[1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\]
Zu Beginn stellen wir fest, dass es sich bei der Anzahl unserer Werte um eine ungerade Anzahl handelt, nämlich fünf. Man kann auf den ersten Blick sehr gut erkennen, dass die 3 in unserer geordneten Rangliste in der Mitte oder im Zentrum steht.
Der Median ist in diesem Beispiel: $\tilde{x}=3$
Des Weiteren wollen wir uns angucken wie man den Median bestimmen kann, falls die Anzahl unserer Werte eine gerade Zahl ist. Dazu gucken wir uns die folgende Rangliste an:
\[1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\]
Wenn wir diese Rangliste betrachten, stellen wir sehr schnell fest, dass es keine wirkliche Mitte oder kein wirkliches Zentrum gibt, aus dem wir den Median direkt ablesen können. In solchen Fällen betrachtet ihr die beiden Werte, welche in der Mitte stehen und bildet aus diesen beiden Werten das arithmetische Mittel. In unserem Fall wäre der Median also der Mittelwert aus den beiden Werten 3 und 4:
\[\tilde{x}=\overline{x}=\frac{3+4}{2}=\frac{7}{2}=3,5\]
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Streifen-, Säulen- und Kreisdiagramme
Daten können durch die Verwendung von unterschiedlichen Diagrammtypen übersichtlich dargestellt werden. Dazu wollen wir uns das folgende Beispiel angucken. Wir gehen davon aus, dass ein Unternehmen Tische in verschiedenen Farben produziert. Es produziert hellgraue, mittelgraue und dunkelgraue Tische. Bei der letzten Produktion wurden die folgenden Stückzahlen in den jeweils unterschiedlichen Farben produziert:
- 6 hellgraue Tische
- 3 mittelgraue Tische
- 3 dunkelgraue Tische
Diese Aufteilung wollen wir nun in einem Streifendiagramm darstellen:
Wir sehen in dem linken Abschnitt die Anzahl der hellgrauen Tische, nämlich sechs. Der mittlere Abschnitt zeigt uns die Anzahl der mittelgrauen Tische, nämlich drei und der rechte Abschnitt zeigt die Anzahl der dunkelgrauen Tische, ebenfalls drei.
Als nächstes wollen wir uns die Darstellung in einem Säulendiagramm (Balkendiagramm) veranschaulichen.
Hier werden die unterschiedlichen Anteile in voneinander getrennten Säulen dargestellt. Die $y$-Achse zeigt die verschiedenen Anteile.
Zum Schluss wollen wir uns die Darstellung in einem Kreisdiagramm angucken:
Bei einem Kreisdiagramm werden die unterschiedlichen Sektoren nach der jeweiligen Größe des Winkels eingeteilt. Um die einzelnen Winkelgrößen zu berechnen, werden die jeweiligen Sektoren als Anteile von einem ganzen Kreis ($360^\circ$) gesehen. Die folgenden Berechnungen liegen bei unserem Kreisdiagramm zu Grunde:
- hellgrau: $\frac{6}{12}\cdot 360{}^\circ =180{}^\circ $
- mittelgrau: $\frac{3}{12}\cdot 360{}^\circ =90{}^\circ $
- dunkelgrau: $\frac{3}{12}\cdot 360{}^\circ =90{}^\circ $
Beispielaufgabe
Beispielaufgabe Arithmetisches Mittel
Beim 100 m-Lauf haben die Läuferinnen und Läufer die folgenden Zeiten erreicht:
Bestimme das arithmetische Mittel (Mittelwert oder Durchschnitt) und den Median.
Lösung
Das arithmetische Mittel wird bestimmt, indem man alle auftauchenden Werte addiert und anschließend durch die Anzahl der auftauchenden Werte teilt:
\begin{align*}
\overline{x}= \dfrac{11,21+12,54+11,76+12,32+11,91+11,99}{6} = 11,955
\end{align*}
Bevor der Median (auch Zentralwert genannt) bestimmt werden kann, müssen erst alle Werte in einer Rangliste sortiert werden:
\begin{align*}
11,21 \quad 11,76 \quad 11,91 \quad 11,99 \quad 12,32 \quad 12,54
\end{align*}
Die Anzahl der Daten ist gerade, nämlich sechs. In diesem Fall werden die beiden Werte, welche in der Mitte (oder im Zentrum) stehen addiert und anschließend durch zwei geteilt:
\begin{align*}
\overline{x}= \dfrac{11,91+11,99}{2} = 11,955
\end{align*}
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