Dreisatz

Dreisatz Übungsaufgabe

Als nächstes wollen wir uns angucken, wie man Aufgaben zu proportionalen Zuordnungen mit Hilfe des Dreisatz’ lösen kann. Dazu schauen wir uns die folgende Aufgabe an.

Aufgabenstellung:

3kg feinstes Rinderfilet kosten 147€. Peter und Susanne brauchen, weil sie die ganze Familie zum Essen einladen wollen, 7kg Fleisch. Wie teuer sind 7kg feinstes Rinderfilet?

Herangehensweise:

Wir werden uns jetzt verschieden Wege und Schreibweisen angucken, mit denen wir solch eine Aufgabe lösen können. Ihr könnt euch dann den Lösungsweg heraussuchen, welcher für euch am besten geeignet ist.

Die wohl am häufigsten vorkommende Methode ist der Dreisatz innerhalb einer Tabelle.

Wir erstellen also eine Tabelle mit zwei Spalten und tragen links das Gewicht- und rechts den Preis ein. Direkt in der Zeile da drunter unsere bekannten Werte:

Als nächstes überlegen wir uns, wie wir den Preis für 7kg berechnen können. Wir kommen nicht durch eine einfache Multiplikation direkt von den 3kg zu den 7kg. Aber wir könnten ja in einem Zwischenschritt den Preis für 1kg Rinderfilet berechnen. Dazu teilen wir auf beiden Seiten unserer Tabelle durch 3.

Jetzt wissen wir also, dass 1kg Rinderfilet 49€ kostet.

Wir möchten aber wissen, wie teuer 7kg Rinderfilet sind. Dazu multiplizieren wir auf beiden Seiten mit 7:

Lösung:

7kg feinstes Rinderfilet kosten also 343€.

Rechnen wir ein weiteres Beispiel

Aufgabenstellung:

15kg feinstes Schweinefilet kosten 70€ und Susanne benötigt 9kg. Wie teuer sind die 9kg feinstes Schweinefilet?

Herangehensweise:

Ihr müsst nicht immer die Zahl 1 als Zwischenschritt wählen, unter Umständen kann man mit anderen Werten einfacher rechnen:

In diesem Beispiel ist der Wert 3 also ein besser geeigneter Zwischenschritt. Hätten wir hier die 1 als Zwischenschritt gewählt, würde die Division auf der rechten Seite $\mathrm{70:15=}\frac{\mathrm{14}}{\mathrm{3}}$ ergeben. 9kg Schweinefilet kosten also 42€.

Es ist ebenfalls möglich, eine solche Aufgabe durch die Zuhilfenahme einer Bruchgleichung zu lösen:

\[\frac{15\ kg}{70\ \textrm{€}}=\frac{9\ kg}{x\ \textrm{€}}\]

Damit unsere Gleichung möglichst einfach aussieht und ihr nicht auf Grund der Einheiten durcheinander kommt, lassen wir die Einheiten ab dem nächsten Schritt weg.

Wir können jetzt unseren vorhin erwähnten Trick anwenden und bilden auf beiden Seiten unserer Gleichung den jeweiligen Kehrwert. Im Anschluss multiplizieren wir direkt mit 9:

\[\frac{70\textrm{€}\ }{15kg\ }=\frac{x\ }{9kg\ } |\cdot 9\]
\[\frac{70\textrm{€}\ \ \cdot \ 9kg\ }{15kg\ }\ =x\]

Jetzt müssen wir den Term auf der linken Seite nur noch ausrechnen und erhalten:

\[42\textrm{€}=x\]

Lösung:

Es kommt das gleiche Ergebnis wie oben raus. 9kg Schweinefilet kosten 42€.

Beispielaufgabe 1

Aufgabenstellung:

Eine Bürofachangestellte benötigt für das Schreiben eines Briefes 12 Minuten und schreibt dabei durchschnittlich 250 Zeichen pro Minute. Wie lange benötigt eine andere Bürofachangestellte für denselben Brief, wenn sie durchschnittlich 300 Zeichen pro Minute schreibt?

Lösung:

Die Bürofachangestellte schreibt 12 Minuten lang 250 Zeichen. Der Brief hat demnach eine Länge von 12∙250=3000 Zeichen. Eine andere Bürofachangestellte schafft sogar 300 Zeichen pro Minute. Sie benötigt für das Schreiben des Briefes demnach 3000÷300=10 Minuten. Anmerkung: Je mehr Zeichen pro Minute geschrieben werden, desto weniger Zeit wird für das Schreiben des Briefes benötigt.

Beispielaufgabe 2

Aufgabenstellung:

Carlo fährt mit seinem Motorrad von Paderborn nach Beckum. Er benötigt für die 80km lange Strecke normalerweise 64 Minuten. Heute hat er nach 20km eine Panne. Wie viel Zeit ist bis dahin vergangen? Notiere Deine Rechnung.

Lösung:

Zuerst überlegen wir uns, ob es sich um eine proportionale oder eine antiproportionale Zuordnung handelt. Je mehr Kilometer Carlo fährt, desto mehr Zeit benötigt er dafür, es handelt sich also um eine proportionale Zuordnung. Grundsätzlich lassen sich alle Aufgaben zum Thema Zuordnungen immer mit einer Dreisatztabelle lösen. Das ist einfach und übersichtlich. Wir tragen zuerst unsere bekannten Daten in eine Dreisatztabelle ein:

Jetzt überlegen wir uns, mit welcher Rechnung wir ganz einfach auf der linken Seite von der 80 zu der 20 gelangen:

\begin{align*}
80 / 4 = 20
\end{align*}

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, müssen wir auf beiden Seiten durch 4 teilen:

\begin{align*}
64 / 4 = 16
\end{align*}

Carlo war bis zur Panne bereits 16 Minuten unterwegs.