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Körper in der Mathematik

Im folgenden Artikel erklären wir dir alles Wichtige zum Thema Mathematische Körper. Du kannst im folgenden den gewünschten Körper auswählen:

Daniel erzählt euch alles zum Thema „Mathematische Körper“

Übersicht Körper, Pyramide, Kegel, Kugel, Zylinder, Prisma | Mathe by Daniel Jung
Mathe Lernhefte für die 5. bis 10. Klasse
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Mathe Lernen für die Mittelstufe

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Würfel

bil_wuerfel

Eigenschaften:

  • alle Kanten sind gleich lang
  • alle 6 Flächen sind gleich groß

Formeln:

  • Oberflächeninhalt: O=6a2
  • Volumen: V=aaa=a3

Quader

bil_quader

Formeln:

  • Oberflächeninhalt: O=2ab+2ac+2bc=2(ab+ac+bc)
  • Volumen: V=abc

Pyramide (quadratisch)

bil_pyramide

Formeln:

  • Oberflächeninhalt: O=a2+2aha
  • Volumen: V=13a2hk=13Ghk

Außerdem gelten nach dem Satz des Pythagoras die folgenden Zusammenhänge:
(a2)2+hk2=ha2 und (a2)2+ha2=s2

Zylinder

bil_zylinder

Formeln:

  • Oberflächeninhalt: O=2πr2+2πrh
  • Mantelfläche: M=2πrh
  • Volumen: V=πr2h=Gh

Kegel

bil_kegel

Formeln:

  • Oberflächeninhalt: O=πr(r+s)
  • Mantelfläche: M=rsπ
  • Volumen: V=13πr2h=13Gh

Außerdem gilt nach dem Satz des Pythagoras der folgende Zusammenhang:
r2+h2=s2

Kugel

bil_kugel

Formeln:

  • Oberflächeninhalt: O=4πr2
  • Volumen: V=43πr3

Beispielaufgaben

Volumen eines Würfels

Ein Würfel hat ein Volumen von 64cm3. Wie groß ist seine Oberfläche?

Lösung

Die Oberfläche eines Würfels wird mit der folgenden Formel berechnet:

O=6a2

Es wird also die Grundkantenlänge des Würfels benötigt. Dazu wird das in der Aufgabe gegebene Volumen in die Volumenformel für einen Würfel eingesetzt:

V=a364=a3

Um die Grundkantenlänge bestimmen zu können, muss jetzt die dritte Wurzel aus 64 gezogen werden:

64=a3a=643=4cm

Zum Schluss wird jetzt noch der eben berechnete Wert in die Oberflächenformel eingesetzt:

O=642=96cm2

Der Würfel hat einen Oberflächeninhalt von 96cm2.

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Beispielaufgabe Volumen eines Brunnens

Der Marktplatz in Paderborn soll einen neuen Brunnen bekommen. Unterhalb ist eine vorläufige Bauskizze zu sehen:

Volumen eines Brunnen

  1. Lediglich der innere Teil des Brunnens soll mit Wasser gefüllt sein. Der Brunnen wird eine Wassertiefe von Wie viel Liter Wasser fasst der Brunnen?
  2. Der äußere Ring soll den Bürgern als Sitzmöglichkeit zur Verfügung stehen. Wie groß ist die Fläche, welche zukünftig als Sitzgelegenheit zur genutzt werden kann?

Lösungen:

Aufgabenteil 1:

Es wird das Volumen des Brunnens in Litern gesucht. Mathematisch gesehen, handelt es sich bei diesem Körper um einen Zylinder. Das Volumen eines Zylinders wird mit der folgenden Formel berechnet:

V=πr2h

Der Radius beträgt laut Skizze ?=4m und die Höhe laut Aufgabentext h=0,5?. Nun werden die beiden Werte in die Volumenformel eingesetzt:

V=π420,525,1m3

Anschließend muss das Ergebnis noch in der Einheit Liter angegeben werden. Dazu muss man den folgenden Zusammenhang kennen:

1l=1dm3

Die 25,1m3 müssen also in dm3 bzw. Liter umgewandelt werden:

25,1m3=25100dm3()

Der Brunnen fasst also 25100 Wasser.

Aufgabenteil 2:

Es wird der Flächeninhalt des äußeren Kreisringes gesucht. Grundsätzlich wird die Fläche eines Kreisringes mit der folgenden Formel berechnet:

A=π(r22r12)

r2 steht für den äußeren Radius und r1 für den inneren Radius. Wir setzen beide Radien in die obige Formel ein und erhalten:

A=π(5242)28,3m2

Die Größe der Sitzfläche beträgt circa 28,3m2.

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