Rationale Funktionen (Bruchfunktion)
Bei rationalen Funktionen sind häufig Bruchgleichungen zu lösen. Gemeint sind Gleichungen der Form
\begin{align*}
f(x) = \frac{a x² + b x + c}{d x + e} = \frac{\textrm{Zaehler}(x)}{\textrm{Nenner}(x)}.
\end{align*}
Neu!
Es handelt sich also um Quotienten (Brüche) von zwei Polynomen (ganzrationalen Funktionen).
Hierbei sollte zunächst immer der Definitionsbereich $\mathbb{D}$ bestimmt werden, da nicht durch Null geteilt werden darf.
Wenn nichts anderes vorgegeben ist, können wir zunächst alle reellen Zahlen $\mathbb{R}$ einsetzen.
Rationale Funktionen Untersuchen
Die Untersuchung von gebrochenrationalen Funktionen erfolgt im Prinzip wie bei den ganzrationalen Funktionen, doch haben gebrochenrationale Funktionen häufig Definitionslücken, an denen ihr Graph oft eine senkrechte Asymptote besitzt.
Basics:
- Die Untersuchung der Nullstellen des Nenners von $f(x)$ liefert den maximalen Definitionsmenge, siehe Kurvendiskussion – Definitionsbereich.
- An den Definitionlücken liegt dann ein Pol vor, wenn die Nullstelle des Nenners keine Nullstelle des Zählers ist. Der Graph hat an den Polen senkrechte Asymptoten. Eine Asymptote ist eine Funktion, die sich einer anderen Funktion im Unendlichen annähert.
In anderen Worten: Bei Asymptoten handelt es sich um sogenannte Definitionslücken, da wir, egal welcher Wert in die Funktion eingesetzt wird, den entsprechenden Wert der Asymptote nicht herausbekommen werden.
- Man untersucht die Funktionswerte $f(x)$ in der Umgebung eines Pols $x_0$, um zu erkennen, ob $f(x) \to + \infty$ oder
$f(x) \to – \infty$ für $x \to x_0$ gilt. Dabei muss man sich dem Pol von rechts und links annähern.
Das Verhalten für $x \to \pm \infty$ wird durch den Grad $m$ des Polynoms im Zähler (also auf dem Bruch) und den Grad $n$ des Polynoms im Nenner (also unter dem Bruch) bestimmt.
Es gilt:
- Ist $m<n$, so strebt $f(x) \to 0$ und die $x$-Achse ist die waagerechte Asymptote des Graphen $K$.
- Ist $m=n$, so strebt $f(x) \to c$, wobei $c$ der Quotient der Koeffizienten der höchsten Potenzen von $x$ im Zähler
und Nenner ist. Die Gerade mit der Gleichung $y=c$ ist die waagerechte Asymptote von $K$. Da es sich um eine waagerechte Asymptote handeln soll,
heißt das, dass die Asymptote bzw. die gesuchte Gerade einen waagerechten Verlauf haben soll, das heißt parallel zur x-Achse verlaufen muss, um als eine waagerechte Asymptote aufgefasst zu werden.
- Ist $m=n+1$, so hat $K$ eine schiefe Asymptote, deren Gleichung durch Polynomdivision ermittelt werden muss.
- Ist $m>n+1$, so hat $K$ eine Näherungskurve vom Grad m-n, deren Gleichung durch Polynomdivision ermittelt wird.
Daniel erklärt dir nochmal das Thema Rationale Funktionen in seinem Lernvideo.
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Tipps zum Umgang mit rationalen Funktionen
Beim Verlauf gebrochenrationaler Funktionen gibt es viel mehr Variationen als bei ganzrationalen Funktionen.
Auch euer Taschenrechner hilft hier nur dann weiter, wenn man bereits etwas über den Verlauf ahnt.
- Ist der Grad des Polynoms im Zähler größer als der Grad des Polynoms im Nenner, so wird der Funktionsterm $f(x)$ durch Polynomdivision umgeformt.
Am umgeformten Funktionsterm erkennt man unmittelbar eine Gleichung der schiefen Asymptote oder des Graphen einer ganzrationalen Näherungsfunktion. - Man sollte sich überlegen, ob sich für $x \to \pm \infty$ ein Graph an eine Asymptote oder Näherungskurve von oben oder von unten annähert.
- Das Ableiten von $f(x)$ ist nach der Polynomdivision meist einfacher.
- Bei $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ sind praktisch immer die Asymptoten parallel zu den Koordinatenachsen.
- Der Graph $K$ von $f$ ist
- achsensymmetrisch zur Geraden mit der Gleichung $x=c$, wenn gilt $f(c+x)=f(c-x)$.
- punktsymmetrisch zum Punkt $Z(c|d)$, wenn gilt $\frac{1}{2}(f(c+x)+f(c-x))=d$.
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Schau dir zur Vertiefung das Lernvideo von Daniel zum Thema gebrochenrationale Funktionen.
