Steckbriefaufgaben
Bei Steckbriefaufgaben werden bestimmte Eigenschaften eines Funktionsgraphen vorgegeben. Gesucht ist die Gleichung der Funktion, deren Graph die gewünschten Eigenschaften hat. Steckbriefaufgaben können nur als Text oder aus einem graphischen Zusammenhang, wo man dann entsprechend die Bedingungen ablesen muss, auftreten!
Vorgehen bei Steckbriefaufgaben
- Um welche Art Funktion handelt es sich? An der Anzahl an Unbekannten sehen wir, wie viele Bedingungen aufgestellt werden müssen.
- Ist eine Symmetrie vorhanden?
- Wird eine Aussage über Punkte $f(x)=y$, die Steigung $f'(x)=m$, Extremstellen $f'(x)=0$ oder Wendestellen $f“(x)=0$? getroffen?
- Alle Informationen in mathematische Gleichungen übersetzen.
- LGS aufstellen und lösen.
- Funktionsgleichung aufschreiben und Probe durchführen.
Beispiel
Gesucht ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades, deren Graph durch den Koordinatenursprung geht, bei $x=1$ ein Minimum und im Punkt $W(2/3|2/27)$ einen Wendepunkt. Wir arbeiten hierfür unser obiges Schema ab.
- Art der Funktion: Polynom 3. Grades hat die allgemeine Form
\begin{align*}
f(x)&=ax^3+bx^2+cx+d \\
f'(x)&=3ax^2 + 2bx + c \\
f“(x)&=6ax+2b
\end{align*}Mit $a,\ b, \ c$ und $d$ liegen vier Unbekannte vor, die bestimmt werden müssen. Wir benötigen also 4 Bedingungen!
- Aussage über Symmetrie nicht vorhanden.
- Aus „der Graph geht durch den Koordinatenursprung“ folgern wir: (I) $f(0)=0$
Minimum an der Stelle $x_E=1$ bringt uns die Info (II) $f'(x_E=1)=0$
Wendepunkt bei $W(2/3|2/27)$ bringt uns die Info (III) $f“(x_W)=0$ und (IV) $f(2/3)=2/27$
- Informationen in LGS aufstellen
\begin{align*}
&\text{(I)} \quad a\cdot 0^3+b\cdot 0^2+c \cdot 0+d = 0 \quad \rightarrow d=0 \\ \\
&\text{(II)} \quad a\cdot (2/3)^3+b\cdot (2/3)^2+c \cdot (2/3) = (2/27) \\ \\
&\text{(III)} \quad 3a\cdot 1^2+ 2b\cdot 1+c = 0 \\ \\
&\text{(IV)} \quad 6a\cdot (2/3)+2b = 0
\end{align*} - Das LGS, bestehend aus den Gleichungen (II)-(IV), anschließend lösen und wir erhalten für die gesuchten Parameter
$a=1 ,\ b=-2, \ c=1,$ und $d=0$ und damit die gesuchte Funktion 3. Grades mit\begin{align*}
f(x)=x^3-2x^2+x
\end{align*}
Steckbriefaufgaben mit e-Funktion
Bei Steckbriefaufgaben kann auch die $e$-Funktion gesucht sein. Denkt dabei einfach an die ganz normalen Schritte bei Steckbriefaufgaben. Eine allgemeine Funktion könnte die Form
\begin{align*}
f(x)=a\cdot e^{-kx}
\end{align*}
aufweisen. Die Unbekannten $u,\ k$ gilt es nun zu ermitteln. Daher muss die Aufgabenstellung zwei Bedingungen hergeben, um die Unbekannten bestimmen zu können. In unserem Beispiel soll die Funktion durch die Punkte $P(2|4)$ und $Q(5|200)$ gehen. Wir stellen somit das Gleichungssystem
\begin{align*}
\text{I}& \quad \quad 4=a \cdot e^{-2k} \\
\text{II}& \quad 200= a\cdot e^{-5k}
\end{align*}
auf und lösen es nach den Unbekannten $a$ und $k$ auf. Eine Möglichkeit ist es, Gleichung I nach $a$ umzustellen und in II einzusetzen.
\begin{array}{lcrcll}
\text{aus I folgt:} \quad & & \frac{4}{e^{-2k}} &= & a & \quad | umschreiben \\
& \Leftrightarrow & 4 \cdot e^{2k} &= & a & \\
\text{in II einsetzen:} \quad & & 200 & = & 4\cdot e^{2k}\cdot e^{-5k} &\quad | Potenzgesetze \\
& \Leftrightarrow & 50 &= & e^{-3k} & \quad | logarithmieren\\
& \Leftrightarrow & ln(50) &= & -3k & \\
& \Leftrightarrow & k &\approx & -1,3 &
\end{array}
Wir erhalten dann für $k=-1,3$ und $a=0,3$ und damit lautet die gesuchte Funktion
\begin{align*}
f(x)= 0,3 \cdot e^{1,3\cdot x}
\end{align*}
Ein einfacheres Beispiel wäre es, wenn die gesuchte Funktion die Form
\begin{align*}
f(x)=4\cdot e^{-kx}
\end{align*}
aufweist und durch den Punkt $P(2|10)$ soll. Warum soll diese Aufgabe einfacher sein? Weil es nur eine Unbekannte $k$ gibt und demnach nur eine Gleichung mit $10=4\cdot e^{-2k}$ aufgestellt werden muss um $k$ zu bestimmen.
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