Zufallsvariablen und Verteilungen
In diesem Artikel erklären wir dir alles zum Thema Zufallsvariablen und Verteilungen. Wir besprechen folgende Unterthemen im Detail:
- Was ist eine Zufallsvariable?
- Diskrete Zufallsvariablen
- Träger einer diskreten Zufallsvariablen
- Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen
- Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen
- Verteilungsparameter einer diskreten Zufallsvariablen (Erwartungswert, Varianz, …)
Neu!
Was ist eine Zufallsvariable?
Eine Zufallsvariable ($X$) ist eine Funktion, die den Ergebnissen eines Zufallsexperimentes reelle Zahlen zuordnet:
\begin{align*}
X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}, \quad X: \omega \rightarrow X(\omega)=x
\end{align*}
Beispiel 1
Zweimaliges Würfeln mit der Zufallsvariable „$X$= Augensumme“
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}
e_i & (1|1) & (1|2) & (2|1) & (2|2) & \dots & (6|6) \\ \hline
X(e_i)=x_i & 2 & 3 & 3 & 4 & \dots & 12
\end{array}$
Hinweis: Die Realisation (gewürfelte Augenzahl) kann durch verschiedene Wurfkombinationen erreicht werden. So kann man die Realisation „4“ mit den Würfen (2|2), (1|3) und (3|1) erreichen. Aus der Anzahl der Elementarereignisse erfolgt die Wahrscheinlichkeit 3/36.
Beispiel 2
Eine Münze wird 2 mal geworfen mit der Zufallsvariable „$X$= Anzahl der Zahl-Würfe“
Was für Möglichkeiten gibt es? Wie sieht der Ergebnisraum aus? Wenn wir das wissen, können wir folgende Tabelle erstellen:
\begin{array}{c|c|c|c}
e_i & (K|K) & (Z|K),(K|Z) & (Z|Z) \\ \hline
X(e_i)=x_i & 0 & 1 & 2 \\ \hline
P(x_i) & 1/4 & 1/2 & 1/4
\end{array}
$
Daniel erklärt euch nochmals was eine Zufallsvariable ist.
Neu!
Diskrete Zufallsvariablen
Eine Zufallsvariable heißt diskret, wenn es endlich oder abzählbar unendlich viele Werte $X_1$, $X_2$, $X_3$, $\dots$, $X_n$ annehmen kann.
Eine Zufallsvariable $(X)$, die nur endlich oder abzählbar unendlich viele Werte annimmt, ist immer diskret.
Beispiele: Augenzahl beim Würfeln, Münzwurf
Träger einer diskreten Zufallsvariablen
- Der Träger $T_X$ einer diskreten $ZV$ $X$ ist die Menge aller Werte, die $X$ mit positiver Wahrscheinlichkeit annimmt.
- Meist ist der Träger einer diskreten Zufallsvariablen eine Teilmenge der natürlichen Zahlen $(1,2,3,\dots,n)$.
- Den Träger $T_X$ kann man auch als Ereignisraum verstehen.
- Wichtig: Es müssen zunächst immer alle Träger der Zufallsvariablen ermittelt werden um dann die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen.
Beispiele diskreter Zufallsvariablen
- Augenzahl beim einmaligen Würfeln (Ereignisraum $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\})$ .
- Anzahl von der Ziehung eines normalen Kartenspiels ohne Zurücklegen, bis die Karo 7 gezogen wird ($\Omega=\{1,2,3,\dots,32\}$).
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Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen
Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt an, wie sich die Wahrscheinlichkeiten auf die möglichen Werte einer Zufallsvariablen verteilen und ist nur für diskrete Zufallsvariablen definiert.
Definition:
\begin{align*}
f: \mathbb{R} \rightarrow [0;1], \quad f:x \rightarrow f(x)=P(X=x)=p
\end{align*}
$P(X=x)$ gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass die ZV $X$ den Wert $x$ annimmt. Mag auf den ersten Blick kompliziert sein, aber wir betrachten dafür mal ein kleines Beispiel:
Es wird ein normaler Würfel geworfen. Wie bereits beschrieben müssen erst die Träger der Zufallsvariablen bestimmt werden, welche auch als Ereignisraum verstanden werden können. Der Ereignisraum lautet also
\begin{align*}
\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}.
\end{align*}
Danach werden die Wahrscheinlichkeiten, analog zu den bisherigen Wahrscheinlichkeiten, mit Hilfe der Laplace-Wahrscheinlichkeit berechnet.
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Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen
Die Verteilungsfunktion ist ein Hilfsmittel zur Beschreibung einer diskreten (oder stetigen) Wahrscheinlichkeitsverteilung. Eine Funktion $F$, die jedem $x$ einer Zufallsvariablen $X$ genau eine Wahrscheinlichkeit $P(X \leq x)$ zuordnet, heißt Verteilungsfunktion.
\begin{align*}
F: \mathbb{R} \rightarrow [0,1], \quad
F : x \rightarrow \ F (x)=P(X≤x)
\end{align*}
Ahja, und was bedeutet das? Interpretation:
Die Verteilungsfunktion misst die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable $X$ höchstens den Wert $x$ annimmt: $F(X)=P(X\leq x)$ = „Wahrscheinlichkeit das $X$ weniger oder gleich einen bestimmten Wert $x$ hat.“
Eigenschaften:
- Die Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen ist eine Treppenfunktion.
- $F(x)$ ist für jedes $x$ definiert und nimmt Werte von 0 bis 1 an.
- Wird bei Hypothesentests verwendet! Signalwort: Höchstens.
Merke:
\begin{align*}
P(X \geq x)=1-P(X < x)=1-P(X \leq x-1) \quad \textrm{und} \quad P(X>x)=1-P(X\leq x)
\end{align*}
Beispiel
Eine Münze wird zwei mal geworfen mit der Zufallsvariable $X$= Anzahl der „Zahl-Würfe“!
\begin{array}{c|c|c|c}
e_i & (K|K) & (Z|K),(K|Z) & (Z|Z) \\ \hline
X(e_i)=x_i & 0 & 1 & 2 \\ \hline
P(x_i) & 1/4 & 1/2 & 1/4 \\ \hline
F(X) & 0,25 & 0,75 & 1 \\
\end{array}
$
1) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem obigen Zufallsexperiment mindestens einmal „Zahl“ geworfen wird?
Grundlegend drücken wir den Operator mindestens als $\geq$ aus und schreiben aus der Aufgabenstellung heraus, was gesucht ist. Daraus folgt:
\begin{align*}
P(X \geq 1)
\end{align*}
Im zweiten Schritt ist aus der Aufgabenstellung ersichtlich, dass die Träger der Zufallsvariablen $\Omega = \{0,1,2\}$ sind.
An dieser Stelle muss man sich die Frage stellen, was wirklich größer gleich Eins ist. Daraus folgt, dass wirklich größer gleich Eins nur $P(X =1)$ und $P(X=2)$ sind und die Wahrscheinlichkeiten für beide Zufallsvariablen bekannt sind.
\begin{align*}
P(X \geq 1) = P(X =1) + P(X=2) = 0,5 +0,25 = 0,75
\end{align*}
Alternativ könnt ihr wie folgt vorgehen: Stellt euch doch die Frage, was echt kleiner als Eins ist. Echt kleiner als Eins ist nur $P(X =0)$, wobei hierfür die Wahrscheinlichkeit bekannt ist. Es folgt
\begin{align*}
P(X \geq 1) = 1- P(X < 1) = 1 – P(X =0) = 1 – 0,25 = 0,75
\end{align*}
2) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Zufallsexperiment höchstens einmal „Zahl“ geworfen wird?
Grundlegend drücken wir den Operator höchstens als $\leq$ aus und schreiben aus der Aufgabenstellung raus, was gesucht ist. Daraus folgt:
\begin{align*}
P(X \leq 1)
\end{align*}
An dieser Stelle muss man sich die Frage stellen, was wirklich kleiner gleich Eins ist. Daraus folgt, dass wirklich kleiner gleich Eins nur $P(X =0)$ und $P(X=1)$ sind und die Wahrscheinlichkeiten für beide Zufallsvariablen bekannt sind.
\begin{align*}
P(X \leq 1) = P(X =0) + P(X=1) = 0,25 +0,5 = 0,75
\end{align*}
>Man kann sich hier auch bei der Beantwortung die Verteilungsfunktion zu Nutze machen, da die Verteilungsfunktion die Wahrscheinlichkeit misst, dass die Zufallsvariable $X$ höchstens ($\leq$) den Wert $x$ annimmt! Es folgt
\begin{align*}
P(X \leq 1) = F(X=1) = 0,75.
\end{align*}
Schau dir vertiefend dazu Daniels Lernvideo zum Thema Verteilungsfunktion an.
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Verteilungsparameter einer diskreten Zufallsvariablen
Verteilungsparameter sind Größen, die bestimmte Aspekte einer Verteilung charakterisieren, wie zum Beispiel Lage, Streuung oder Schiefe einer Verteilung.
Wichtige Parameter sind:
Erwartungswert (Lageparameter):
- Der Erwartungswert ist der Schwerpunkt der Verteilung und beschreibt die Zahl, die die Zufallsvariable im Mittel annimmt.
- Der Erwartungswert $E(X)$ wird auch oft als $\mu$ bezeichnet.
\begin{align*}
\mu=E(X)= \sum_{i=1}^k x_i \cdot \underbrace{P(X=x_i)}_{=p_i} = x_1\cdot p_1 + x_2 \cdot p_2 + \dots + x_k \cdot p_k
\end{align*}
Varianz (Streuungsparameter):
- Varianz beschreibt die Streuung einer Zufallsvariablen und hängt nicht vom Zufall ab.
- Die Varianz von der Zufallsvariablen $X$ ist der Erwartungswert der quadrierten Abweichung von ihrem Erwartungswert.
- Oft wird statt $V(X)$ einfach $\sigma^2$ geschrieben.
\begin{align*}
\sigma^2=V(X)= \sum_{i=1}^k (x_i- \mu)^2 \cdot p_i
\end{align*}
- Der Verschiebungssatz $\sigma^2= \sum_{i=1}^k x_i^2 \cdot p_i – \mu^2$ erleichtert meist die Berechnung der Varianz.
Standardabweichung (Streuungsparameter):
- Die Standardabweichung ist die positive Wurzel aus der Varianz und gibt die Streuung der Werte um den Mittelwert an.
- Damit ist die Standardabweichung ebenfalls ein Maß für die Streuung, nur dass sie etwas langsamer ansteigt als die Varianz. Kennt man die Varianz, dann kann diese leicht in die Standardabweichung umgerechnet werden (und umgekehrt).
\begin{align*}
\sigma = \sqrt{V(X)} = \sqrt{\sigma^2} \notag
\end{align*}
Grundaufgaben
- Erwartungswert und Standardabweichung berechnen und interpretieren
- Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass die Zufallsvariable Werte annimmt, die um vorgegebene Werte vom Erwartungswert abweichen.
Beispiel
Ein Lehrer möchte wissen, wie seine Schüler abschneiden und wie sehr die guten bzw. schlechten Schüler vom Schnitt abweichen. Folgende Tabelle zeigt die Notenverteilung
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}
\text{Note} \ x_j & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ \hline
p_j & 0,1 & 0,15 & 0,5 & 0,2 & 0 & 0,05
\end{array}
$
Der Erwartungswert berechnet sich wie folgt:
\begin{align*}
\mu = E(x) = 1 \cdot 0,1 + 2 \cdot 0,15 + 3 \cdot 0,5 + 4 \cdot 0,2 + 5 \cdot 0 + 6 \cdot 0,05 = 3 \notag
\end{align*}
Interpretation: Der Notendurchschnitt beträgt somit $3$.
Die Standardabweichung berechnen wir über die Varianz:
\begin{align*}
\sigma^2 &= (1-3)^2 \cdot 0,1 + (2-3)^2 \cdot 0,15 + (3-3)^2 \cdot 0,5 + (4-3)^2 \cdot 0,2\notag \\ &+ (5-3)^2 \cdot 0 + (6-3)^2 \cdot 0,05 = 1,2 \notag \\
\Rightarrow \quad \sigma &= \sqrt{1,2} \notag
\end{align*}
Die Streuung um den Notendurchschnitt ist gering. Ein Stabdiagramm würde das weiter verdeutlichen. Bei solchen Aufgaben müsst ihr oft mehrere Szenarien vergleichen und sagen, welches Szenario mehr streut.
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