Einaxial belastete Stäbe

Bei diesen Aufgabentypen ist in der Regel nach Längenänderungen oder Spannungen gefragt. Allgemein gilt: Spannung = Kraft pro Fläche!

Lösungsschritte (vgl. Rolf Mahnken, Lehrbuch der Technischen Mechanik – Elastostatik, Springer Verlag, 1. Auflage, 2015)

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(i) für statisch bestimmte Stäbe

• Statisches System: Idealisierung in $n$ Stäbe. Zusätzliche Balken werden als starr angenommen.
• Gleichgewichtsbedingungen aufstellen
• Spannungen: Für jeden Stab gilt

\begin{align*}
\sigma_i = \frac{N_i}{A_i} \quad \textrm{mit} \quad i=1, \ \dots \ , \ n
\end{align*}

• Längenänderungen:

\begin{align*}
\Delta l_i = \frac{N_i \cdot l_i}{(EA)_i} + \alpha_{T_i} \cdot \Delta T_i \cdot l_i
\end{align*}

• Verschiebung von Stabendpunkten

$\rightarrow$ Grafo-analytisch zur Berücksichtigung der Kompatibilität

• Weitere Aufgabenstellungen: Spannungs- und Verformungsnachweis, Dimensionierung etc.

z.B.     

$\rightarrow$ statisch bestimmt, da Auflagerreaktionen über  Gleichgewichtsbedingungen ermittelbar sind!

(ii) für statisch unbestimmte Stäbe

• Statisches System
• Gleichgewichtsbedingungen
• Grad der statischen Unbestimmtheit $n_s$
• Vergleich von Anzahl an Unbekannten mit Gleichgewichtsbedingungen
• Kompatibilitätsbedingungen

\begin{align*}
\Delta l_i = \frac{N_i \cdot l_i}{(EA)_i} + \alpha_{T_i} \cdot \Delta T_i \cdot l_i
\end{align*}

und $n_s$ Kompatibilitätsbedingungen mit Hilfe eines Pol- und Verschiebungsplanes, z.B. $\Delta l_i = 2 \Delta l_k$

• Auflösen des Gleichungssystems
• Weitere Aufgabenstellungen: Spannung, Längenänderung, Verdrehung etc.

z.B.     

$\rightarrow$ statisch bestimmt, da Auflagerreaktionen über  Gleichgewichtsbedingungen ermittelbar sind!

Kompatibilitätsbedingungen für statisch unbestimmte Stäbe