Schnittgrößen

Beispiel einteiliges System mit Kraft

Bestimme die Schnittgrößen und stelle die charakteristischen Verläufe der Schnittgrößen übersichtlich dar. Bekannt: $F, \ l$

Zunächst müssen die Auflagerreaktionen berechnet werden. Entweder könnt ihr jetzt einen Freischnitt machen und Gleichgewichtsbedingungen aufstellen oder ihr „seht“, dass die Lagerkräfte $A_x=0, \ A_y=B_y=F/2$ sind.

Jetzt tritt immer die Frage auf: Wo wird geschnitten?

Merkt euch: Wir schneiden immer „bevor“ und „nachdem“ etwas passiert. In diesem Fall also vor der Kraft und nach der Kraft.

Da wir „schneiden“, haben wir keine fest definierte Länge dieses Teilstückes mehr. Aus diesem Grund wird eine Variable $x$ definiert, die den Schnittbereich abdeckt. Ihr könnt die Richtung, von wo das $x$ loslaufen soll, selbst bestimmen. Achtet dann aber beim Momentengleichgewicht auf den Hebelarm! Am einfachsten ist es, wenn das $x$ wie in diesem Beispiel läuft. Die Schnittgrößen werden gemäß der gestrichelten Linie (hier: linkes Schnittufer) eingetragen.

Schnittbereich I: $0 \leq x_1 \leq l$

\begin{align*}
\rightarrow&: \ N^I(x_1)=-A_x=0 \\
\uparrow&: \ Q^I(x_1)=A_y=\frac{F}{2} \\
\unicode{8630} I&: \ M^I(x_1)=A_y\cdot x_1=\frac{F}{2} \cdot x_1
\end{align*}

Sobald Schnittgrößen abhängig von der Variablen $x_1$ sind, sollten noch die Randwerte berechnet werden. Dazu setzen wir die vorher definierten Randwerte für unser $x_1$, also 0 und l in die Gleichung des Schnittmoments ein. Das brauchen wir später zum Zeichnen der charakteristischen Verläufe. Wir erhalten:

\begin{align*}
M^I(x_1=0)=\frac{F}{2} \cdot 0=0 \quad \textrm{und} \quad M^I(x_1=l)=\frac{F}{2} \cdot l
\end{align*}

Wegen dem $x_1$ in der Funktion des Schnittmoments wissen wir bereits jetzt, dass wir einen linearen Verlauf des Moments vorliegen haben. Die Normalkraft ist 0 und die Querkraft hat einen konstanten Verlauf über den Träger in diesem Bereich.

Häufig wird die Frage gestellt: „Was ist denn mit der Kraft $F$, die angreift? Die wird doch dann gar nicht in dem Schnittbereich berücksichtigt?“ Ich kann euch sagen: Doch. Denn die äußere Belastung steckt in den Auflagerreaktionen!

Für den Schnittbereich II zeigen wir euch zunächst die unserer Meinung nach einfachste Lösung. Anschließend stellen wir euch noch weitere Möglichkeiten vor, wie man die Schnittgrößen anders hätte berechnen können.

Schnittbereich II: $0 \leq x_2 \leq l$

\begin{align*}
\rightarrow&: \ N^{II}(x_2)=0 \\
\uparrow&: \ Q^{II}(x_2)=-B_y=-\frac{F}{2} \\
\unicode{8631} I&: \ M^{II}(x_2)=B_y\cdot x_2=\frac{F}{2} \cdot x_2
\end{align*}

In diesem Fall liegt ein rechtes Schnittufer vor, so dass die Querkraft nun nach oben zeigt. Wir haben ein neues $x_i$ definiert, welches vom Rand und entgegengesetzt zu $x_i$ verläuft. Das hat den Vorteil, dass wir bei der Berechnung der Randwerte wieder eine 0 einsetzen können. Wir erhalten:

\begin{align*}
M^{II}(x_2=0)=0 \quad \textrm{und} \quad M^{II}(x_2=l)=\frac{F}{2} \cdot l
\end{align*}

Weitere Möglichkeiten für den zweiten Schnittbereich:

Alternative 1 – „Auge“: Wenn ihr etwas Erfahrung habt, muss man generell bei solchen Trägern keine Berechnung mehr wirklich durchführen. Man kann direkt sehen, dass sich die Kraft $F$ gleichmäßig auf die beiden vertikalen Lagerkräfte in $A$ und $B$ aufteilt. Da keine horizontale Belastung auftritt ist die Normalkraft $N(x)$ immer null. In Balkenmitte wird die Querkraft einen Sprung um $F$ aufweisen. Da Fest- und Loslager kein Moment aufnehmen können, muss das Moment in den Lagern Null sein. Gute Kontrollmöglichkeit für euch beim Rechnen.

Alternative 2 – Schnittbereich II: $l \leq x_1 \leq 2l$

Das Schnittmoment ist hier das Interessante wegen der Variablen $x_1$. Daher stellen wir das Moment auf und berechnen die Randwerte, damit ihr seht, dass das Gleiche herauskommt.

\begin{align*}
\unicode{8630} II: \ M^{II}(x_1)=A_y\cdot x_1-F\cdot (x_1-l)=-\frac{F}{2} \cdot x_1 + F\cdot l \\
M^{II}(x_1=l)=\frac{F}{2} \cdot l \quad \textrm{und} \quad M^{II}(x_1=2l)=0
\end{align*}

Alternative 3 – Schnittbereich II: $o \leq x_2 \leq l$

\begin{align*}
\unicode{8630} II: \ M^{II}(x_1)=A_y\cdot (l+x_2) – F\cdot x_2=\frac{F}{2}\cdot x_2 + \frac{F}{2}\cdot l \\
M^{II}(x_2=0)=\frac{F}{2} \cdot l \quad \textrm{und} \quad M^{II}(x_2=l)=0
\end{align*}

Wir sehen, dass wir bei allen Alternativen dieselben Randwerte erhalten, wie in unserem vorgeschlagenen Lösungsweg. Dabei finde ich unsere Lösung um einiges eleganter!

Abschließend noch die sogenannten charakteristischen Verläufe der Schnittgrößen.

Einfach 3 Mal den Balken hinzeichnen, mit $N$, $Q$ und $M$ bezeichnen und in euren Schnittbereichen die Randwerte an der richtigen (!!!) Stelle eintragen – achtet darauf, von wo euer $x$ läuft. Die Vorzeichen werden in die Verläufe eingetragen, so dass nur positive Beträge als Werte aufgeführt werden.

Lösungsvideo zum Beispiel einteiliges System mit Einzellast:

Beispiel Kragarm mit rechteckiger Streckenlast

Bestimme die Schnittgrößen und stelle die charakteristischen Verläufe der Schnittgrößen übersichtlich dar. Bekannt: $q_0=F/l, \ l$Das Schöne bei eingespannten Balken (sog. Kragarm) ist, dass wir für die Berechnung der Schnittgrößen häufig keine Lagerreaktionen berechnen müssen, da wir uns aussuchen können, von welcher Seite wir ausgehen.

Zudem wird der Kragarm durch eine rechteckige Streckenlast belastet. Merkt euch: Streckenlasten werden einmal geschnitten – wie bereits oben angedeutet. Jetzt haben wir zwei Möglichkeiten, die Schnittgrößen zu bestimmen:

Linkes SU: $0\leq x_1 \leq l$

Rechtes SU: $0\leq x \leq l$

Es sollte sofort ersichtlich sein, dass wir der Einfachheit halber die rechte Möglichkeit mit dem rechten Schnittufer wählen. Was ist jetzt noch besonders? Genau: Die Streckenlast. Denn die Resultierende $R$ bestimmt sich nun aus der Höhe $q_0$ und der variablen Länge $x$. Für die Bestimmung der Auflagerreaktionen ersetzen wir die Streckenlast wie gewohnt durch die Resultierende $R=q_0\cdot l$.

Die Schnittgrößen lauten

\begin{align*}
\rightarrow&: \ N^{I}(x)=0 \\
\uparrow&: \ Q^{I}(x)=R=q_0\cdot x = \frac{F}{l}\cdot x \quad \textrm{(linearer Verlauf)} \\
\unicode{8631} I&: \ M^{II}(x)=-R\cdot \frac{x}{2}=-\frac{F}{2l}\cdot x^2 \quad \textrm{(quad. Verlauf)}
\end{align*}

mit den zugehörigen Randwerten lassen sich die charakteristischen Verläufe schnell zeichnen.

Randwerte:

\begin{align*}
Q^{I}(x=0)=0 \quad &\textrm{und} \quad  Q^{I}(x=l)=q_0\cdot l = F \\
M^{I}(x=0)=0 \quad &\textrm{und} \quad M^{I}(x=l)=-\frac{F}{2}\cdot l
\end{align*}

Lösungsvideo zum Beispiel Kragarm mit rechteckiger Streckenlast:

Beispiel Kragarm mit dreieckiger Streckenlast

Bestimme die Schnittgrößen und stelle die charakteristischen Verläufe der Schnittgrößen übersichtlich dar. Bekannt: $q_0=F/l, \ l$

Erneut sollen die Schnittgrößen an einem Kragarm bestimmt werden. Schauen wir uns dazu erneut unsere Möglichkeiten an, wie wir die Aufgabe lösen können. Aufgrund der Streckenlast haben wir erneut nur einen Schnittbereich und die Frage stellt sich, von welcher „Seite“ wir loslegen.

Linkes SU: $0\leq x_1 \leq l$

Rechtes SU: $0\leq x \leq l$Neben den Lagerreaktionen, die berechnet werden müssten, haben wir ein weiteres Problem, wenn wir mit dem linken Schnittufer arbeiten würden. Durch den Schnitt der dreieckigen Streckenlast liegt in dem Schnittbereich nun ein Trapez vor. Die Bestimmung der Resultierenden (also Flächeninhalt des Trapez‘ ausrechnen) ist zwar möglich, aber umständlich. Genau wie die Tatsache, dass die Resultierende einer Streckenlast im Schwerpunkt angreift. Da wir das nicht alles auswendig wissen, sollten wir uns definitiv für die Variante mit dem rechten Schnittufer entscheiden. Bei einer dreieckigen Streckenlast wissen wir, dass die Resultierende sich aus der Höhe des Dreiecks und der Länge bestimmt und im Schwerpunkt („1 Drittel – 2 Drittel“) angreift.

Doch die Höhe der Streckenlast ist nun nicht mehr $q_0$, sondern $q(x)$. Durch den Schnitt ist die Höhe nun abhängig von der Variable $x$. Aber was ist $q(x)$? Hier hilft der gute alte Strahlensatz.

Es gilt:

\begin{align*}
\frac{q_0}{l}=\frac{q(x)}{x} \quad \Rightarrow \quad q(x)=\frac{q_0}{l}\cdot x
\end{align*}

Diesen Zusammenhang solltet ihr euch auf jeden Fall merken!

Die Schnittgrößen lauten

\begin{align*}
\rightarrow: \ N^{I}(x)&=0 \\ \uparrow: \ Q^{I}(x)&=R=q(x)\cdot \frac{x}{2}= \frac{q_0}{l}\cdot x\cdot  \frac{x}{2} \\ &= \frac{q_0}{2l}\cdot x^2 = \frac{F}{2l^2}\cdot x^2 \quad \textrm{(quad. Verlauf)} \\ \unicode{8631} I: \ M^{II}(x)&=-R\cdot \frac{x}{3}=-q(x)\cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{3} \\ &=- \frac{q_0}{l} \cdot x \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{3} = – \frac{q_0}{6l}\cdot x^3 \\ &= – \frac{F}{6l^2}\cdot x^3 \quad \textrm{(kubischer Verlauf)}
\end{align*}

mit den zugehörigen Randwerten lassen sich die charakteristischen Verläufe schnell zeichnen. Randwerte:

\begin{align*}
Q^{I}(x=0)=0 \quad &\textrm{und} \quad  Q^{I}(x=l)=\frac{F}{2} \\
M^{I}(x=0)=0 \quad &\textrm{und} \quad M^{I}(x=l)=-\frac{F}{6}\cdot l
\end{align*}

Lösungsvideo zum Beispiel Kragarm mit dreieckiger Streckenlast: