Statische Bestimmtheit
Wie prüfe ich ein System auf statische Bestimmtheit?
Bei der Bestimmung der statischen Bestimmtheit sollten in der Regel 2 Bedingungen geprüft werden um einen Ausnahmefall der Statik ausschließen zu können.
1) Notwendige Bedingung
Bei Systemen:
Mithilfe der kinematischen Abzählformel: $f=3n-(r+z)$
mit $n$: Anzahl der Systeme
$r$: Anzahl der Reaktionskräfte
$z$: Anzahl der Gelenkkräfte
Bei Fachwerken:
Mithilfe der kinematischen Abzählformel: $f=2k-(r+s)$
mit $k$: Anzahl der Knoten
$r$: Anzahl der Reaktionskräfte
$s$: Anzahl der Stäbe
Es gilt:
$f \leq 0$: starr, sofern kein Ausnahmefall vorliegt
$f >0$: verschiebbar
2) Hinreichende Bedingung
Bei Systemen: Polplan
Bei Fachwerken: Bildungsgesetze & Polplan
Übersicht der Bildungsgesetze [1]:
- Bildungsgesetz: „Ausgehend von einem starren Körper, z.B. einem Einzelstab
, wird ein neuer Knoten durch zwei Stäbe angeschlossen, so dass ein Dreieck entsteht. 
Dies kann beliebig fortgesetzt werden, solange die zwei neuen Stäbe nicht auf einer Geraden liegen.“ - Bildungsgesetz: „Zwei innerlich bestimmte Fachwerke werden durch drei Stäbe miteinander verbunden, die sich nicht in einem Punkt schneiden und die nicht alle parallel sind. An die Stelle von zwei Stäben kann auch ein an beiden Fachwerken gemeinsamer Knoten treten.“
- Bildungsgesetz: „Bei einem innerlich statisch bestimmten Fachwerk wird 1 Stab herausgenommen und an einer anderen Stelle wieder so eingefügt, dass das Fachwerk starr ist.“
[1] Quelle: Technische Mechanik – Statik, Rolf Mahnken
Regeln zum Polplan:
- Festes Auflager ist Pol
- Bei Translationsbewegung liegt Pol im Unendlichen
- Loslager ist geometrischer Ort
- Schnittpunkt zweier geometrischer Orte ist Pol selbst
- Bei mehrteiligen Systemen: Liegen Pol von System 1 und 2 auf einer Geraden mit dem Zwischenpol (Gelenk, dass System verbindet), dann ist das System verschiebbar
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Beispiel Fachwerk 1
Prüfe das folgende Fachwerk auf die statische Bestimmtheit. Wenn möglich, ist auch die Verschiebungsfigur zu zeichnen.
Lösung:
1) Notwendige Bedingung:
Es liegt ein Fachwerk vor, daher wird die Abzählformel für Fachwerke verwendet. Dafür zählen wir nun die Knoten ($k=7$), die Stäbe ($s=11$) und die Lagerwertigkeiten ($r=3$: das Festlager kann 2 Kräfte aufnehmen und das Loslager 1 Kraft!). Wir erhalten:
\begin{align*}
f=2\cdot 7-(11+3)=0
\end{align*}
Damit ist die notwendige Bedingung erfüllt und wir prüfen nun die hinreichende Bedingung:
2) Hinreichende Bedingung:
Da ein Fachwerk vorliegt, muss zunächst die innere statische Bestimmtheit mit Hilfe der Bildungsgesetze geprüft werden. Es liegen nur Dreiecke vor, aus diesem Grund können wir mit Hilfe des 1. Bildungsgesetzes die innere statische Bestimmtheit des Fachwerks nachweisen. Zur Verdeutlichung werden die Dreiecksflächen schraffiert.
Nun noch den Polplan erstellen. Dazu werfen wir einen kleinen Blick in die Regeln. Regel I: Festlager ist Pol selbst. Regel III: Loslager ist geometrischer Ort.
Das Schwierigste ist nun aber die Interpretation des Polplans. Merkt euch: Wenn der geometrische Ort nicht durch den Pol verläuft, liegt ein Widerspruch im Polplan vor und das System ist statisch bestimmt oder nicht verschiebbar oder wie auch immer ihr es nennen wollt!
Beispiel Fachwerk 2
Prüfe das folgende Fachwerk auf die statische Bestimmtheit. Wenn möglich, ist auch die Verschiebungsfigur zu zeichnen.
Lösung:
1) Notwendige Bedingung:
siehe Beispiel 1.
2) Hinreichende Bedingung:
Bildungsgesetze, siehe Beispiel 1.
Lediglich beim Polplan treten Unterschiede zum vorherigen Beispiel auf. Warum? Wegen dem Loslager oben rechts. Schauen wir uns also den Polplan genauer an. Wieder werfen wir einen kleinen Blick in die Regeln. Regel I: Festlager ist Pol selbst. Regel III: Loslager ist geometrischer Ort.
Interpretation des Polplans: Der geometrische Ort verläuft durch den Pol, also liegt kein Widerspruch im Polplan vor und das System ist statisch unbestimmt oder verschiebbar oder wie auch immer ihr es nennen wollt!
Wie sieht nun die Verschiebungsfigur aus? Hier nehmen wir das Prinzip der virtuellen Arbeit etwas vorweg. Merke: „Jede Bewegung eines starren Körpers ist als Drehung um den Absolutpol darstellbar.“ Zur einfacheren Darstellung wird das Fachwerk in der Verschiebungsfigur ohne die inneren Stäbe dargestellt. Ausgehend vom Pol ziehen wir den Polstrahl zu den äußeren Knoten. Den Drehsinn könnt ihr euch aussuchen (hier: Im Uhrzeigersinn). Anschließend verschiebt sich der Knoten senkrecht zum Polstrahl.
Beispiel mehrteiliges System
Prüfe das folgende System auf die statische Bestimmtheit. Wenn möglich, ist auch die Verschiebungsfigur zu zeichnen. Bekannt: $F, \ \overline{M}, \ a$
Lösung:
1) Notwendige Bedingung:
Es liegt ein „normales“ System vor, daher wird die Abzählformel für Systeme verwendet. Dafür zählen wir nun die Anzahl der Systeme ($n=2$), die Gelenkkräfte ($z=2$: Gelenke verbinden Systeme miteinander und können 2 Kräfte aufnehmen) und die Lagerwertigkeiten ($r=4$: zwei Festlager, die jeweils 2 Kräfte aufnehmen können). Wir erhalten:
\begin{align*}
f=3\cdot 2-(4+2)=0
\end{align*}
2) Hinreichende Bedingung:
Polplan: Wir nummerieren zunächst unsere Systeme durch. Anschließend nach Festlagern Ausschau halten, denn die sind immer der Pol selbst. Ein Pol von System 1 und ein Pol von System 2. Das Gelenk, welches die Systeme verbindet, wird als Zwischenpol bezeichnet.
Das System gilt als verschiebbar, wenn die Pole von System 1 und 2, sowie der Zwischenpol auf einer Geraden liegen (vgl. Regel 5). Das ist hier nicht der Fall. Aus diesem Grund ist das System statisch bestimmt!
Lösungsvideo zu den 3 obigen Beispielen:
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Aufgabe mehrteiliges System
Prüfe das folgende System auf die statische Bestimmtheit. Wenn möglich, ist auch die Verschiebungsfigur zu zeichnen. Bekannt: $F, \ \overline{M}, \ q_0=F/a,\ a$
Lösungsvideo zu der Aufgabe
